Математика для аудио

Формула $x(t) = A\sin(2\pi ft)$ задаёт порядок вычисления: взять время, умножить его на частоту (frequency)?частота (frequency) — Число полных колебаний за секунду. Обозначается f и измеряется в герцах; 1 Гц означает одно колебание в секунду. и полный угол оборота, вычислить синус (sine)?синус (sine) — Вертикальная координата точки на единичной окружности под заданным углом от положительного направления горизонтальной оси. Для острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. и умножить результат на амплитуду (amplitude)?амплитуда (amplitude) — Наибольший модуль отклонения колеблющейся величины от равновесного значения. Для синусоиды обозначается A; единицы совпадают с единицами сигнала.. Чтобы пользоваться этой формулой, нужно понимать обозначения и порядок действий.

Здесь собраны математические приёмы из статей сайта: от дробей и единиц до восстановления через sinc и сглаживания в компрессоре (dynamic range compressor)?компрессор (dynamic range compressor) — Устройство или программа, которая ослабляет сигнал, когда его уровень выше порога, и тем сужает динамический диапазон.. Для чтения достаточно арифметики; примеры можно повторять на калькуляторе. К нужному приёму можно возвращаться через оглавление.

Буквы, индексы и порядок действий

Буква в формуле обозначает величину: $t$ — время, $f$ — частоту, $A$ — амплитуду. Значение и единицу задаёт пояснение рядом с формулой. Одна буква может иметь разный смысл в разных статьях: $T$ бывает периодом (period)?период (period) — Время одного полного повторения периодического колебания. Обозначается T, измеряется в секундах и связано с частотой как T = 1/f. в секундах или порогом (threshold)?порог (threshold) — Уровень, начиная с которого компрессор или лимитер ослабляет сигнал, а экспандер или гейт — перестаёт ослаблять. компрессора в децибелах (decibel)?децибел (decibel) — Логарифмическая единица отношения двух величин: для амплитуд L = 20 lg(A/A₀), для мощностей — 10 lg(P/P₀). Смысл числа задаёт опорная величина..

Нижний индекс уточняет название: $f_s$ — частота дискретизации (sample rate)?частота дискретизации (sample rate) — Число отсчётов в каждом канале за одну секунду, то же число кадров аудиоданных в секунду. Измеряется в герцах: 44 100 Гц означает 44 100 отсчётов на канал в секунду., $A_\text{ref}$ — опорная амплитуда. Это не умножение на $s$ или на ref. Напротив, $ft$ и $f\cdot t$ означают произведение. Греческие буквы тоже служат обозначениями: $\pi$ («пи») — постоянное число примерно 3,14159, $\varphi$ («фи») часто означает фазу (phase)?фаза (phase) — Положение внутри периода колебания, выраженное углом: полный период соответствует 360°, или 2π радиан. Начальная фаза — её значение в момент t = 0., $\alpha$ («альфа») — коэффициент. Символ $\Delta$ («дельта») обычно обозначает изменение: $\Delta t$ — интервал времени.

Знак $=$ сообщает точное равенство, $\approx$ — приближённое: $1/3 \approx 0{,}333$. Знаки $<$ и $>$ читаются «меньше» и «больше», $\leq$ и $\geq$ включают равенство. Многоточие в $n = 0,1,2,\ldots$ означает продолжение того же ряда целых чисел.

Скобки задают, что вычислять вместе. Дробная черта группирует весь числитель и знаменатель: $\frac{x-T}{R}$ означает сначала вычесть $T$ из $x$, затем разделить результат на $R$. При $x = -8$, $T = -20$ и $R = 4$ получается $(-8-(-20))/4 = 12/4 = 3$. Вычитание отрицательного числа превращается в прибавление.

В выражении $2 + 3\cdot 4$ умножение выполняется раньше сложения, поэтому результат 14. В $(2+3)\cdot 4$ результат 20. Степени (power)?степень (power) — При положительном целом показателе m запись aᵐ означает произведение m одинаковых множителей a. Показатель 0 даёт 1 при ненулевом основании, отрицательный целый показатель — обратную величину соответствующей положительной степени. вычисляют раньше умножения; когда порядок может быть неясен, скобки устраняют неоднозначность.

Отношения, доли и единицы

Для положительных величин отношение $a/b$ показывает масштаб $a$ относительно $b$. При одинаковых единицах они сокращаются: $2\,\text{В}/1\,\text{В}=2$. Доля 0,25 соответствует 25 %: проценты переводят в доли делением на 100. Поэтому глубина модуляции (modulation depth)?глубина модуляции (modulation depth) — Величина изменения управляемого параметра. Её единицы и шкала зависят от параметра: например, глубина может задавать отклонение частоты в герцах или долю ослабления звука. 75 % в формуле записывается как $D=0{,}75$.

Приставки меняют масштаб единицы: 1 кГц = 1000 Гц, 1 мс = 0,001 с, 1 мкс = 0,000001 с. Частота 1 Гц означает одно повторение за секунду. Для расчёта периода частоту подставляют в герцах:

Для $f=1000$ Гц формула (1) даёт $T=0{,}001$ с, то есть 1 мс. Удвоение частоты уменьшает период вдвое. Чтобы выразить время в миллисекундах сразу, можно считать $1000/f$: при 48 000 Гц период дискретизации (sampling period)?период дискретизации (sampling period) — Интервал времени между соседними отсчётами, обратный частоте дискретизации. Измеряется в секундах. равен примерно 0,02083 мс, или 20,83 мкс.

Единицы помогают проверить расчёт. Время блока из $N=480$ кадров при $f_s=48\,000$ кадров в секунду равно $N/f_s=0{,}01$ с: «кадры» сокращаются, секунды остаются. Подробности числа каналов и размера памяти — в статье об аудиоданных.

Перестановку формулы тоже можно проверить: из $T=1/f$ умножением обеих сторон на $f$ получается $fT=1$, затем делением на $T$ — $f=1/T$. Эти шаги допустимы при ненулевых $f$ и $T$.

Степени, корни и модуль

Степень?степень (power) — При положительном целом показателе m запись aᵐ означает произведение m одинаковых множителей a. Показатель 0 даёт 1 при ненулевом основании, отрицательный целый показатель — обратную величину соответствующей положительной степени. $a^m$ при положительном целом $m$ означает произведение $m$ одинаковых множителей $a$. Например, $2^3=2\cdot2\cdot2=8$. Так в АЦП считают число кодов: у каждого бита два варианта, у трёх битов — восемь комбинаций, у 16 битов — $2^{16}=65\,536$. Ещё один бит удваивает число комбинаций.

При $a\ne0$ выполняются $a^0=1$ и $a^{-m}=1/a^m$. Поэтому $10^{-3}=0{,}001$, а запись $2\cdot10^{-5}$ означает 0,00002. При умножении степеней одного основания показатели складываются: $2^3\cdot2^4=2^7$.

Квадратный корень (square root)?квадратный корень (square root) — Неотрицательное число, квадрат которого равен заданному неотрицательному числу. Для вещественных чисел √a определён при a ≥ 0. $\sqrt{a}$ — неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Например, $\sqrt{9}=3$; здесь $a\geq0$, если работаем с вещественными числами. Дробные степени связаны с корнями: $a^{1/2}=\sqrt{a}$ для $a\geq0$. Например, $10^{2{,}5}=10^2\sqrt{10}\approx316{,}2$; произвольный показатель можно вычислить на калькуляторе. Это понадобится для RMS (RMS level)?среднеквадратичный уровень (RMS level) — Корень из среднего квадрата значений сигнала на выбранном интервале. Имеет те же единицы, что и сигнал; у синусоиды за целое число периодов равен амплитуде, делённой на √2. и для обратного перевода децибелов в отношение амплитуд.

Модуль числа (absolute value)?модуль числа (absolute value) — Расстояние от числа до нуля на числовой прямой. Модуль неотрицателен; например, |−0,8| = |0,8| = 0,8. $|x|$ — расстояние от него до нуля: $|-0{,}8|=0{,}8$ и $|0{,}8|=0{,}8$. Знак исчезает и при возведении в квадрат: $(-0{,}8)^2=0{,}64$. При этом $-0{,}8^2=-0{,}64$: без скобок минус применяется после возведения в квадрат.

Двоичная и шестнадцатеричная запись

В обычной десятичной записи каждая цифра умножается на степень десяти по своему месту: $345 = 3\cdot10^2 + 4\cdot10^1 + 5\cdot10^0$. Такая запись называется позиционной, а 10 — её основанием. С тем же правилом можно взять другое основание; его указывают нижним индексом: $1011_2$.

Двоичная (binary) запись использует только цифры 0 и 1, их называют битами (bit). Места соответствуют степеням двойки: $1011_2 = 1\cdot2^3 + 0\cdot2^2 + 1\cdot2^1 + 1\cdot2^0 = 8 + 2 + 1 = 11$. Восемь бит образуют байт (byte). В байте $2^8 = 256$ комбинаций, поэтому как число без знака он принимает значения от 0 до 255.

Шестнадцатеричная (hexadecimal) запись использует 16 цифр: 0–9 и буквы A–F со значениями от 10 до 15. Поскольку $16 = 2^4$, одна шестнадцатеричная цифра заменяет ровно четыре бита, а байт записывается двумя цифрами — от 00 до FF. Например, $\text{AC}_{16} = 10\cdot16 + 12 = 172$, а $\text{FF}_{16} = 15\cdot16 + 15 = 255$. В программах вместо индекса пишут приставку 0x: 0xAC44 $= 10\cdot16^3 + 12\cdot16^2 + 4\cdot16 + 4 = 44\,100$.

Число из нескольких байтов можно читать как запись по основанию 256: каждый байт — одна «цифра». Если младший байт $b_0$, следующий $b_1$ и так далее, значение равно $b_0 + b_1\cdot256 + b_2\cdot256^2 + b_3\cdot256^3$. Число 44 100 состоит из байтов $\text{44}_{16} = 68$ и $\text{AC}_{16} = 172$: $68 + 172\cdot256 = 44\,100$. В каком порядке байты лежат в файле, определяет формат: в WAV-файле младший байт идёт первым.

Эти правила описывают целые числа без знака. Отрицательные целые обычно хранят в дополнительном коде (two’s complement)?дополнительный код (two’s complement) — Представление знакового целого в N битах: при установленном старшем бите беззнаковое значение этих битов уменьшают на 2ᴺ. Диапазон — от −2ᴺ⁻¹ до 2ᴺ⁻¹−1; у нуля одна запись.: тот же набор битов читается по особому правилу, и, например, 16-битное 0xFF00 означает −256.

Побитовые операции и маска

Побитовая операция (bitwise operation) работает с отдельными позициями двоичной записи целых. В C++ & даёт 1 в позиции, только если оба входных бита равны 1; | — если хотя бы один равен 1; ~ меняет каждый бит на противоположный. Эти операции отличаются от логических &&, || и !, которые работают с истинностью условий (рабочий текст стандарта C++, AND, OR, унарные операторы).

Битовая маска (bit mask)?битовая маска (bit mask) — Целое число, в котором единицами отмечены позиции битов для выбора или изменения побитовой операцией. Маска 0x80 выбирает старший бит восьмибитного байта. отмечает нужные позиции единицами. Например, $ext{B6}_{16}=10110110_2$, маска $ext{80}_{16}=10000000_2$. Выражение 0xB6 & 0x80 оставляет только старший бит и даёт 0x80; 0x36 & 0x80 даёт 0. Чтобы спросить, установлен ли бит, сравнивают результат с нулём: (byte & 0x80) != 0. Скобки фиксируют порядок операций.

Сдвиг влево << k переносит биты на $k$ позиций к старшим разрядам и заполняет освободившиеся позиции нулями. Для беззнакового числа при достаточной ширине это умножение на $2^k$: 3u << 8 даёт $3\cdot256=768$. Поэтому из байтов 0x12 и 0x34 число собирают как 0x12u | (0x34u << 8), получая 0x3412. Байты заняли разные позиции, так что OR здесь даёт тот же результат, что сложение.

Беззнаковый сдвиг вправо >> k отбрасывает $k$ младших позиций и заполняет старшие нулями. 0x3412u >> 8 даёт 0x34; маска & 0xFFu оставляет один младший байт. Число позиций должно быть неотрицательным и меньше ширины типа. Тип выбирают до сдвига, чтобы промежуточные биты поместились. Правый сдвиг отрицательного знакового числа в C++20 заполняет старшие позиции знаком; для переносимого кода C++17 на это правило полагаться нельзя (стандарт C++, Shift operators). В разборе 24-битного PCM показаны варианты расширения знака (sign extension)?расширение знака (sign extension) — Заполнение новых старших битов копиями знакового бита при увеличении разрядности целого в дополнительном коде. Сохраняет числовое значение, например 24-битное −1 становится 32-битным −1. с вычитанием и со сдвигами.

Целочисленное деление и остаток

Деление целого $a\geq0$ на целое $b>0$ с остатком даёт неполное частное $q=\lfloor a/b\rfloor$ и остаток $r=a-qb$, где $0\leq r<b$. Скобки $\lfloor\cdot\rfloor$ означают округление (rounding)?округление (rounding) — Замена числа ближайшим допустимым значением, например ближайшим целым для round. Выбор при равном расстоянии до двух значений определяется отдельным соглашением. вниз: наибольшее целое, не превосходящее число. Например, $38=4\cdot8+6$, поэтому $\lfloor38/8\rfloor=4$, а остаток равен 6. Остаток также записывают как $a\bmod b$.

Когда делитель — степень двойки $2^k$, частное и остаток видны прямо в двоичной записи. $38=100110_2$; при $k=3$ старшие биты 100 дают частное 4, три младших 110 — остаток 6. В C++ для беззнакового числа это a >> k и a & ((1u << k) - 1): маска из $k$ единиц оставляет младшие биты. На таком разбиении построен код Райса во FLAC.

Для отрицательных чисел соглашения расходятся. Операция / в C++ отбрасывает дробную часть, то есть округляет частное к нулю: -7 / 2 равно −3, -7 % 2 равно −1, и (a / b) * b + a % b снова даёт a (стандарт C++, Multiplicative operators). Округление вниз дало бы частное −4 и остаток 1. Поэтому перед делением со знаком выясняют, какое правило нужно. В кодах Райса (Rice code)?код Райса (Rice code) — Код переменной длины для неотрицательных целых: частное от деления на 2^k записывается унарно, остаток — k битами. Короток для чисел около нуля. знак убирают заранее и делят только неотрицательные числа.

Функция, аргумент и график

В аудио запись $x(t)$ сообщает значение сигнала в момент $t$. Если $x$ — напряжение, входное время измеряется в секундах, результат — в вольтах. Напротив, $x[n]$ обозначает отсчёт (sample)?отсчёт (sample) — Значение сигнала в один момент дискретизации, одно число. В звукозаписи его также называют сэмплом. с целым номером $n$: $x[0]$, $x[1]$, $x[2]$. В статьях сайта круглые скобки используются для непрерывного времени, квадратные — для последовательности отсчётов. Связь $x[n]=x(nT_s)$ означает: отсчёт номер $n$ берётся в момент $nT_s$, где $T_s$ — период дискретизации в секундах.

На графике по горизонтальной оси откладывают аргумент, по вертикальной — значение функции. Чтобы получить точку, подставляют выбранный аргумент в правило. Единицы читают по подписям осей: график сигнала по времени и график уровня по частоте описывают разные зависимости.

Модуль используют при поиске пика: из отсчётов −0,8 и +0,5 больший по величине — первый. Запись $\max(|x[0]|,|x[1]|)$ выбирает наибольший из двух модулей. Функция $\min$ аналогично выбирает наименьшее значение. В треугольном LFO модуль создаёт два симметричных прямолинейных участка.

Угол, окружность и радианы

Угол можно измерять долей полного оборота. В градусах оборот равен 360°. Радиан (radian)?радиан (radian) — Единица угла, заданная отношением длины дуги окружности к её радиусу. Дуга длиной в один радиус соответствует 1 рад; полный оборот — 2π рад. определяется через окружность: угол в радианах равен длине дуги $s$, поделённой на радиус $r$. Если длина дуги равна радиусу, угол равен 1 рад (OpenStax, §5.1).

Длина всей окружности — $2\pi r$. Поэтому полный оборот равен $2\pi$ рад, половина — $\pi$ рад, четверть — $\pi/2$ рад. Чтобы перевести градусы в радианы, умножают их числовое значение на $\pi/180$; для обратного перевода — на $180/\pi$. Например, $30^\circ=\pi/6$ рад, а 1 рад приблизительно равен 57,3°.

При измерении от положительного направления горизонтальной оси положительный угол отсчитывают против часовой стрелки, отрицательный — по часовой. Углы 0 и $2\pi$ приводят к одной точке; угол $-\pi/2$ ведёт туда же, куда $3\pi/2$.

Отношение двух длин безразмерно, но пометка «рад» помогает отличать радианы от градусов. В математических формулах $\sin(\pi/2)$ подразумевает радианы. Для калькулятора нужно выбрать режим RAD; режим DEG предназначен для аргумента в градусах.

Синус и косинус

В прямоугольном треугольнике синус?синус (sine) — Вертикальная координата точки на единичной окружности под заданным углом от положительного направления горизонтальной оси. Для острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. острого угла — отношение длины противолежащего катета к гипотенузе. Косинус (cosine)?косинус (cosine) — Горизонтальная координата точки на единичной окружности под заданным углом от положительного направления горизонтальной оси. Для острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Гипотенуза лежит напротив прямого угла; какой катет прилежащий, зависит от выбранного острого угла (OpenStax, §5.4).

Возьмём треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5. Для угла $\theta$ («тета») напротив катета 3 получаются $\sin\theta=3/5=0{,}6$ и $\cos\theta=4/5=0{,}8$. При увеличении всех сторон вдвое отношения сохранятся: значение зависит от угла.

Чтобы определить синус для любого угла, используют единичную окружность (unit circle), то есть окружность радиуса 1. Точка под углом $\theta$ имеет горизонтальную координату $\cos\theta$ и вертикальную $\sin\theta$. В первой четверти радиус и проекции образуют тот же прямоугольный треугольник (рисунок 1; OpenStax, §5.2).

При полном обороте высота точки проходит через 0, +1, 0, −1 и снова 0. Синус повторяется каждые $2\pi$ и принимает значения от −1 до +1. Косинус имеет тот же диапазон, но начинает оборот со значения +1. Значения для четвертей оборота собраны в таблице 1.

Из окружности видны полезные свойства: $\sin(-\theta)=-\sin\theta$, $\sin(\theta+\pi)=-\sin\theta$, $\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta$. Отражение, половина оборота и полный оборот объясняют смену знака и повторение волны. Кроме того, $\cos\theta=\sin(\theta+\pi/2)$: косинус соответствует синусу, опережающему его на четверть оборота.

Чему равны sin(π/2) и sin(−π/2)?

Верхняя точка окружности имеет высоту +1, нижняя −1. Поэтому $\sin(\pi/2)=1$, $\sin(-\pi/2)=-1$. Если калькулятор даёт другое значение, проверьте режим RAD.

От угла к синусоиде во времени

Если точка движется по окружности равномерно, её вертикальная координата меняется по синусоиде. Частота?частота (frequency) — Число полных колебаний за секунду. Обозначается f и измеряется в герцах; 1 Гц означает одно колебание в секунду. $f$ задаёт число оборотов за секунду. За время $t$ проходит $ft$ оборотов; умножение на $2\pi$ переводит их в радианы. Начальный угол задаёт фаза?фаза (phase) — Положение внутри периода колебания, выраженное углом: полный период соответствует 360°, или 2π радиан. Начальная фаза — её значение в момент t = 0. $\varphi$. Получается формула (2), используемая в статье о звуковой волне.

Пусть $A=0{,}5$ В, $f=1000$ Гц, $\varphi=0$. В момент 0,25 мс сначала переводим время в секунды: $t=0{,}00025$ с. Затем $ft=0{,}25$ оборота, $2\pi ft=\pi/2$ рад, синус равен 1. Напряжение равно 0,5 В. Через 0,5 мс от начала угол равен $\pi$, напряжение нулевое; через 0,75 мс оно равно −0,5 В. Через 1 мс цикл повторяется.

Для отсчётов подставляют $t=n/f_s$. При $f=1000$ Гц и $f_s=8000$ Гц угол равен $\pi n/4$: каждый следующий отсчёт сдвигается на 45°. Эта подстановка разобрана в статье о дискретизации. Как угол превращается в две волны на графике, показывает эксперимент с фазой.

Логарифм: найти показатель степени

Логарифм (logarithm)?логарифм (logarithm) — Показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Для вещественного логарифма аргумент и основание положительны, основание отлично от 1. Десятичный логарифм lg использует основание 10. отвечает на вопрос, в какую степень возвести основание, чтобы получить заданное число. Десятичный логарифм обозначают $\lg a$ или $\log_{10}a$: $\lg100=2$, потому что $10^2=100$. Аналогично, $\lg1=0$ и $\lg0{,}01=-2$. Логарифм может быть дробным: $\lg2\approx0{,}30103$ (OpenStax, §4.3).

Для вещественного логарифма аргумент должен быть положительным, основание — положительным и отличным от 1. Поэтому $\lg0$ и $\lg(-1)$ не имеют вещественного значения. При приближении положительного аргумента к нулю десятичный логарифм уходит к $-\infty$. Символ $\infty$ («бесконечность») здесь описывает неограниченное убывание результата.

Децибелы и обратный перевод

В статье об уровне сигнала сравнение положительных амплитуд записано как $L=20\lg(A/A_\text{ref})$, где $L$ — уровень в децибелах, $A_\text{ref}>0$ — опорная амплитуда. Сначала нужно вычислить отношение, затем логарифм, затем умножить на 20. Например, 0,1 В относительно 1 В даёт отношение 0,1, логарифм −1 и уровень −20 дБ. Значения напряжения не подставляют в логарифм по отдельности: его аргумент — безразмерное отношение.

Чтобы выполнить обратный перевод, делят уровень на 20 и возводят 10 в полученную степень (формула (3); J. O. Smith, Decibels).

Уровень −20 дБ даёт $10^{-1}=0{,}1$, −6 дБ — $10^{-0{,}3}\approx0{,}5012$. Поэтому «вдвое» и «6 дБ» совпадают лишь приближённо: точное удвоение амплитуды даёт примерно 6,0206 дБ. Для мощности используют множитель 10; обратный перевод её отношения имеет вид $10^{L/10}$. Связь мощности с квадратом амплитуды и условия применения этих формул разобраны в статье об уровне.

Если считают уровень отдельного отсчёта, берут его модуль. Например, −0,5 и +0,5 относительно опоры 1 дают одинаковые −6,02 дБ. Нулевому отсчёту условно приписывают уровень $-\infty$ дБ по пределу; это не конечное значение $\lg0$.

Амплитуда уменьшилась до 1 % исходной. Сколько это децибелов и какой множитель вернёт её обратно?

1 % — доля 0,01. Из $20\lg0{,}01$ получаются −40 дБ. Обратное усиление на 40 дБ означает множитель $10^{40/20}=100$.

Свойства логарифма и шкала частот

При положительных $a$ и $b$ выполняются $\lg(ab)=\lg a+\lg b$, $\lg(a/b)=\lg a-\lg b$ и $\lg(a^m)=m\lg a$. Например, $\lg(2\cdot10)=\lg2+1\approx1{,}30103$. Этим объясняется сложение децибелов при последовательном применении множителей усиления (OpenStax, §4.5).

На кривых равной громкости (equal-loudness contour)?кривая равной громкости (equal-loudness contour) — Линия на графике частоты и уровня звукового давления, соединяющая чистые тоны, воспринимаемые одинаково громкими в заданных условиях. горизонтальная шкала частот логарифмическая, вертикальная шкала уровня размечена равными интервалами децибелов. Чтобы читать график, проверяйте обе оси отдельно.

Полутоны и центы

Цент (cent)?цент (cent) — Сотая часть равномерно темперированного полутона; в октаве 1200 центов. Интервал в c центов умножает частоту на 2 в степени c/1200. — сотая часть равномерно темперированного полутона, в октаве 1200 центов (HyperPhysics, Cents). Интервал в $c$ центов умножает частоту на $2^{c/1200}$: 7 центов дают множитель около 1,004052, а 220 Гц превращаются примерно в 220,89 Гц. Отрицательное $c$ понижает частоту.

Двоичный логарифм $\log_2 a$ отвечает на вопрос, в какую степень возвести 2; на калькуляторе его находят через десятичный, как во второй части формулы. Например, отношение 3/2 даёт $1200\cdot\lg1{,}5/\lg2\approx701{,}955$ цента, а темперированная квинта — ровно 700. Разница около 1,955 цента мала, но при долгом совместном звучании слышна как медленные биения (beats)?биения (beats) — Периодическое нарастание и спад громкости суммы двух тонов близких частот. Частота биений равна модулю разности частот.. Так как отношения последовательных интервалов перемножаются, их величины в центах складываются: две темперированные квинты дают 1400 центов. Это прямое следствие свойства $\lg(ab)=\lg a+\lg b$.

Натуральный логарифм и экспонента

Натуральный логарифм (natural logarithm)?натуральный логарифм (natural logarithm) — Логарифм с основанием e ≈ 2,71828; обозначается ln. Для положительного аргумента a равен показателю степени, дающему eᵘ = a. $\ln a$ использует основание $e\approx2{,}71828$. Экспонента (exponential function)?экспонента (exponential function) — Функция eᵘ, также записываемая exp(u), где e ≈ 2,71828. Обратна натуральному логарифму: exp(ln(a)) = a при положительном a. При отрицательном аргументе принимает значения между 0 и 1. $e^u$, также записываемая $\exp(u)$, выполняет обратное действие: $e^{\ln a}=a$ при $a>0$. На калькуляторе ln соответствует натуральному логарифму, log обычно десятичному; в программных библиотеках обозначения нужно проверять (OpenStax, §4.3).

Для $q\geq0$ выражение $e^{-q}$ убывает от 1 к нулю: при $q=0$ оно равно 1, при $q=1$ примерно 0,3679. При любом конечном $q$ значение остаётся положительным. Такой вид зависимости подходит для постепенного затухания (OpenStax, §4.1).

В формуле коэффициента сглаживания $\alpha=e^{-\ln9/(f_st)}$ сначала находят $\ln9\approx2{,}19722$, затем делят на $f_st$ и меняют знак. Здесь $f_s$ — частота дискретизации в герцах, $t>0$ — время атаки (attack time)?время атаки (attack time) — Время, за которое компрессор наращивает подавление усиления после превышения порога. Точное определение зависит от устройства. или восстановления в секундах. Их произведение равно числу отсчётов за это время, показатель степени безразмерен.

При $f_s=48\,000$ Гц и $t=0{,}01$ с получается $f_st=480$, показатель примерно −0,004578, а $\alpha\approx0{,}995433$. Увеличение $t$ приближает коэффициент к 1. Как этот коэффициент замедляет изменение усиления, показано ниже; значение времени 10–90 % соответствует модели MathWorks, compressor, принятой в статье о компрессоре.

Коэффициент компрессора записывается так же: $\alpha=e^{-\ln9/(f_st)}$ соответствует $\tau=t/\ln9\approx t/2{,}2$. Время атаки 10 мс даёт постоянную времени около 4,55 мс.

Сумма Σ и среднеквадратичное значение

Суммирование (summation)?суммирование (summation) — Сложение значений выражения при переборе указанных индексов. Например, сумма x[n] от n = 0 до N−1 включает ровно N отсчётов. обозначают заглавной греческой буквой $\Sigma$ («сигма»). Запись $\sum_{n=0}^{N-1}x[n]$ означает сложить отсчёты с номерами от 0 до $N-1$ включительно. Таких отсчётов ровно $N$: при $N=4$ берутся номера 0, 1, 2, 3. Буква $n$ внутри суммы перебирает номера и не остаётся свободным аргументом результата.

В выражении $x[n]^2$ индекс $n$ выбирает отсчёт, а степень 2 относится к его значению. В формуле (4) под знаком суммы сначала возводят каждый отсчёт в квадрат, складывают квадраты, делят на число отсчётов и извлекают корень. Это среднеквадратичное значение?среднеквадратичный уровень (RMS level) — Корень из среднего квадрата значений сигнала на выбранном интервале. Имеет те же единицы, что и сигнал; у синусоиды за целое число периодов равен амплитуде, делённой на √2. (J. O. Smith, Signal Metrics).

Пусть четыре отсчёта — $0$, $0{,}5$, $0$, $-0{,}5$. Квадраты равны $0$, $0{,}25$, $0$, $0{,}25$; сумма 0,5, среднее 0,125, корень примерно 0,3536. Обычное среднее исходных отсчётов равно нулю. В RMS положительная и отрицательная части не уничтожают друг друга, потому что суммируются квадраты. При всех нулевых отсчётах RMS тоже нулевой; для пустого набора эта формула неприменима из-за деления на $N=0$.

С квадратом единицы меняются: для напряжения сумма квадратов имеет единицу В², после корня возвращаются вольты. Само среднее квадратов напряжения не выражает мощность в ваттах без модели электрической нагрузки. В цифровой обработке часто используют безразмерные отсчёты и говорят о мощности сигнала как о среднем квадрате.

Кусочные функции и интервалы

Кусочная функция (piecewise function)?кусочная функция (piecewise function) — Функция, заданная разными выражениями на разных частях области допустимых аргументов. Выражение выбирается по условию, записанному рядом с ним. задаётся разными выражениями для разных значений аргумента. В фигурной скобке справа от каждой строки стоит условие выбора. В характеристике компрессора это выглядит так:

При $T=-20$ dBFS (decibels relative to full scale)?dBFS (decibels relative to full scale) — Уровень цифрового сигнала в децибелах относительно полной шкалы. Для пиковых значений 0 dBFS соответствует её границе; формат с плавающей точкой допускает значения выше неё. Соглашение об опоре RMS указывают отдельно. и $R=4$ вход −30 dBFS удовлетворяет $x<T$, поэтому выбирается первая строка: выход −30 dBFS. Для входа −8 dBFS выбирается вторая: $-20+(-8-(-20))/4=-17$ dBFS. При $x=T$ действует вторая строка и даёт ровно $T$. Строки формулы (5) выбираются по условию, их не складывают.

Интервал $[a,b]$ включает оба конца, $(a,b)$ исключает их. В $[-\pi,\pi)$ левая граница включена, правая исключена: $-\pi\leq\varphi<\pi$. Такой диапазон используется для фазы LFO. Углы $-\pi$ и $\pi$ соответствуют одной точке окружности, поэтому достаточно хранить один из них. При переходе через $\pi$ вычитают $2\pi$, сохраняя избыток: $\pi+0{,}01$ превращается в $-\pi+0{,}01$.

Округление и частота после наложения

Функция округления?округление (rounding) — Замена числа ближайшим допустимым значением, например ближайшим целым для round. Выбор при равном расстоянии до двух значений определяется отдельным соглашением. $\operatorname{round}(u)$ выбирает ближайшее целое: $\operatorname{round}(1{,}2)=1$, $\operatorname{round}(1{,}8)=2$. Ровно посередине между целыми нужно отдельное соглашение. Например, разные библиотеки могут выбирать для 2,5 число 2 или 3; правило проверяют при переносе формулы в код.

В расчёте частоты после наложения используется $k=\operatorname{round}(f/f_s)$, затем $f'=f-kf_s$. Для $f=5000$ Гц и $f_s=8000$ Гц отношение равно 0,625, поэтому $k=1$ и $f'=-3000$ Гц. У синуса отрицательный аргумент меняет знак, так что $\sin(2\pi f't)=-\sin(2\pi\cdot3000t)$. Модуль $|f'|=3000$ Гц задаёт частоту тона, знак описывает фазовый переворот.

Если $f/f_s$ ровно посередине между целыми, варианты округления дают граничные частоты $\pm f_s/2$. Это особый случай дискретизации (sampling)?дискретизация (sampling) — Измерение непрерывного сигнала через равные промежутки времени: вместо функции времени сохраняется последовательность отсчётов. на границе Найквиста; условия восстановления нужно читать отдельно. Значение $f_s=0$ недопустимо для этой формулы.

Бесконечная сумма и функция sinc

В идеальном восстановлении встречается сумма от $-\infty$ до $\infty$. Она охватывает всю последовательность отсчётов в обе стороны по времени. Такая запись описывает предел сумм с растущим числом слагаемых, когда он существует; её нельзя выполнить как конечный перебор всех номеров.

Функция sinc (sinc function)?функция sinc (sinc function) — Нормированная функция sinc(u) = sin(πu)/(πu), со значением 1 при u = 0. В идеальном восстановлении непрерывного сигнала её сдвинутые копии взвешивают отсчётами и складывают. здесь нормирована: $\operatorname{sinc}(u)=\sin(\pi u)/(\pi u)$ при $u\ne0$, а $\operatorname{sinc}(0)=1$. В нуле прямое деление даёт неопределённость $0/0$. Значение 1 задают по пределу (limit): при приближении $u$ к нулю отношение приближается к 1. Например, при $u=0{,}1$ оно примерно 0,9836, при $u=0{,}01$ — 0,99984. При любом ненулевом целом $u$ синус $\pi u$ равен нулю, поэтому sinc тоже нулевая.

Для каждого $n$ в формуле (6) сначала считают время относительно отсчёта $t-nT_s$, делят на $T_s$, вычисляют sinc и умножают на $x[n]$. Затем складывают вклады. В момент отсчёта $t=mT_s$, где $m$ — целое, аргумент равен $m-n$: у слагаемого $n=m$ sinc равна 1, у остальных — 0. Поэтому $y(mT_s)=x[m]$. Между отсчётами участвуют многие слагаемые; соединение точек прямыми описывает другой способ интерполяции.

Точное восстановление исходного сигнала требует условий теоремы отсчётов (sampling theorem)?теорема отсчётов (sampling theorem) — В принятой низкочастотной модели непрерывный сигнал можно точно восстановить по всем точным равномерным отсчётам, если его спектр лежит строго ниже половины частоты дискретизации. Также известна как теорема Котельникова.: в принятой здесь идеальной модели спектр (spectrum)?спектр (spectrum) — Представление сигнала через его частотные составляющие: их частоты, амплитуды и фазы. Ограничение спектра задаёт, какие частоты допускаются в сигнале. целиком лежит строго ниже $f_s/2$, отсчёты точные и известны за всё время. Это математическая модель; конечная запись и квантование (quantization)?квантование (quantization) — Замена значения отсчёта одним из конечного набора представимых уровней. Разность между выбранным уровнем и исходным значением называется ошибкой квантования. требуют дополнительных оговорок (J. O. Smith, Sampling Theorem).

Предыдущее значение и рекуррентная формула

Рекуррентная формула (recurrence relation)?рекуррентная формула (recurrence relation) — Правило вычисления очередного значения последовательности через предыдущие значения. Для начала вычислений нужно задать начальное состояние. вычисляет новое значение через предыдущие. Квадратные скобки $g_s[n-1]$ обозначают сохранённое значение на предыдущем шаге. Для первого шага нужно задать начальное состояние, например $g_s[-1]=0$ дБ. В формуле (7) новое значение — взвешенное среднее предыдущего и требуемого.

Коэффициент из раздела об экспоненте задаёт скорость этого процесса. Множитель $\ln9$ относится к соглашению о времени перехода от 10 до 90 % изменения: оставшаяся доля ошибки уменьшается с 0,9 до 0,1, то есть в девять раз. Это соглашение используется в статье о компрессоре; у других реализаций определение времени может отличаться.

Если цель не меняется, значение со временем перестаёт меняться. Такое установившееся значение (steady state) находят, подставив одно и то же число $g$ вместо текущего и предыдущего значения. Для формулы (7) получается $g=\alpha g+(1-\alpha)g_c$, то есть $(1-\alpha)g=(1-\alpha)g_c$, и при $\alpha<1$ выходит $g=g_c$: сглаживание приходит точно к цели, в примере выше — к −8 дБ. Если в формуле есть ещё одно слагаемое, установившееся значение может с целью не совпасть. Так происходит у модели аналогового пикового детектора: при равных атаке и восстановлении она показывает половину постоянного уровня (статья о компрессоре).

Предыдущее подавление −2 дБ, цель −10 дБ, α = 0,5. Чему равно новое значение?

Веса прошлого и цели равны: $0{,}5\cdot(-2)+0{,}5\cdot(-10)=-6$ дБ. Это середина между −2 и −10 дБ. На следующем шаге при той же цели получится −8 дБ.

Скользящее окно: минимум и среднее

Для некоторых расчётов нужны сразу несколько последних значений. Запись $\min_{0 \le k \le D} g[n-k]$ означает наименьшее из $D+1$ значений $g[n], g[n-1], \dots, g[n-D]$. Индекс $k$ под знаком $\min$ перебирает целые числа от 0 до $D$ включительно, как индекс суммы $\Sigma$. Набор этих значений называют окном. С ростом $n$ окно сдвигается: в него входит новое значение, а самое старое выходит. Среднее по такому окну, $\frac{1}{D+1}\sum_{k=0}^{D} g[n-k]$, называют скользящим средним: все $D+1$ значений входят в него с одинаковым весом (Smith, Moving Average Filters).

Разности соседних значений

Разность $\nabla x[n]=x[n]-x[n-1]$ (backward difference) показывает, на сколько значение изменилось за один шаг. Разность разностей называют второй разностью: $\nabla^2x[n]=\nabla x[n]-\nabla x[n-1]=x[n]-2x[n-1]+x[n-2]$. Третья и следующие разности определяются так же.

Возьмём значения 100, 130, 155, 175, 190, 200. Первые разности: 30, 25, 20, 15, 10. Вторые: −5, −5, −5, −5. Третьи: 0, 0, 0. Значения легли на параболу: у неё постоянна вторая разность. У прямой постоянна первая разность, а вторая равна нулю. В общем случае у многочлена степени $d$ при равном шаге постоянна $d$-я разность, а все следующие равны нулю (Wikipedia, Finite difference: Polynomials).

Отсюда способ предсказать следующее значение: предположить, что $p$-я разность равна нулю, и выразить из этого $x[n]$. При $p=2$ из $x[n]-2x[n-1]+x[n-2]=0$ получается $x[n]=2x[n-1]-x[n-2]$ — продолжение прямой через два последних значения. Так устроены фиксированные предсказатели FLAC; ошибка такого предсказания равна самой $p$-й разности. Шаг между значениями должен быть одинаковым: у отсчётов это период дискретизации.

Разность по-разному действует на медленные и быстрые изменения. У значений 0,10; 0,11; 0,12 разности всего 0,01, а у знакопеременных +0,1; −0,1; +0,1 они равны ±0,2. Для синусоиды с частотой $f$ первая разность — синусоида той же частоты, амплитуда которой умножена на $2\sin(\pi f/f_s)$. При $f=f_s/2$, когда отсчёты чередуют знак, множитель равен 2; при $f_s=48$ кГц и $f=1$ кГц — около 0,13, а на ещё более низких частотах он близок к нулю. Так дельта-сигма-модулятор уводит шум квантования к высоким частотам.

Значения 2, 5, 8, 11. Чему равны первые и вторые разности и что даст формула x[n] = 2x[n−1] − x[n−2] для следующего значения?

Первые разности: 3, 3, 3; вторые: 0, 0. Значения лежат на прямой, поэтому предсказание $2\cdot11-8=14$ продолжает её: следующая разность снова равна 3.

Модуль суммы и верхняя граница

Модуль суммы двух действительных чисел не больше суммы их модулей: $|a+b| \le |a|+|b|$. Это неравенство треугольника (triangle inequality). При одинаковых знаках модули складываются; при разных один вклад частично или полностью компенсирует другой. Для $a=0{,}8$, $b=-0{,}5$ имеем $|a+b|=0{,}3$, тогда как $|a|+|b|=1{,}3$. Верхняя граница может быть намного больше результата.

Для произведения $|gx|=|g||x|$. Если два входа удовлетворяют $|x_1[n]|\le1$ и $|x_2[n]|\le1$, то $|g_1x_1[n]+g_2x_2[n]|\le|g_1|+|g_2|$. Например, коэффициенты 0,4 и 0,3 ограничивают модуль суммы сверху значением 0,7 при любых сочетаниях таких входов. Условие $|g_1|+|g_2|\le1$ даёт достаточную гарантию для идеальной арифметики, но его нарушение не доказывает перегрузку: результат может быть меньше из-за компенсации. Оценка применяется в микшировании.

Амплитуда суммы синусоид

Пусть $y(t)=a\sin\theta+b\sin(\theta+\varphi)$, где $\theta=2\pi ft$, $f$ — общая частота в Гц, $t$ — время в секундах, $\varphi$ — разность фаз в радианах, $a$ и $b$ — амплитудные коэффициенты. Формула сложения $\sin(\theta+\varphi)=\sin\theta\cos\varphi+\cos\theta\sin\varphi$ позволяет собрать члены: $y(t)=(a+b\cos\varphi)\sin\theta+(b\sin\varphi)\cos\theta$ (OpenStax, §7.2).

Обозначим коэффициенты при синусе и косинусе как $u=a+b\cos\varphi$ и $v=b\sin\varphi$. Это две перпендикулярные составляющие: по теореме Пифагора длина соответствующего вектора $R=\sqrt{u^2+v^2}$. Его вращение даёт синусоиду с амплитудой $R$. Такое представление суммы разобрано у Julius O. Smith.

При $a=b=0{,}5$ и $\varphi=\pi/2$ получаем $u=v=0{,}5$, поэтому $R=\sqrt{0{,}25+0{,}25}\approx0{,}7071$. При нулевой фазе $R=1$, при $\pi$ — 0. Формула относится к синусоидам одной частоты с постоянными коэффициентами; она даёт амплитуду всей волны. Максимум конечного набора отсчётов может быть ниже. Визуализация суммы источников использует именно $R$.

Сумма синусоид близких частот

Если частоты различаются, разность фаз между синусоидами растёт со временем. Формула суммы синусов превращает сумму в произведение: $\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ (OpenStax, §7.4). Подставим $\alpha=2\pi f_1t$ и $\beta=2\pi f_2t$:

При близких частотах второй множитель — быстрое колебание со средней частотой $(f_1+f_2)/2$. Первый множитель меняется медленно и задаёт его размах. Модуль $|2\cos(\pi(f_1-f_2)t)|$ доходит до 2 и опускается до нуля дважды за период косинуса, поэтому громкость (loudness)?громкость (loudness) — Ощущение того, насколько сильным кажется звук. Зависит от звукового давления, частотного состава и условий восприятия. нарастает и спадает с частотой $|f_1-f_2|$. Такие биения?биения (beats) — Периодическое нарастание и спад громкости суммы двух тонов близких частот. Частота биений равна модулю разности частот. слышны как пульсация. Для 220 и 221 Гц получается одна пульсация в секунду (HyperPhysics, Beats).

Формула записана для равных амплитуд. При амплитудах $a$ и $b$ размах суммы колеблется между $|a-b|$ и $a+b$, до нуля он опускается только при $a=b$. Если разность частот велика, отдельные колебания громкости перестают различаться; как меняется ощущение, разобрано в психоакустике. Расстройку (detune)?расстройка (detune) — Небольшое отклонение частоты одного генератора от другого или от точного интервала, обычно в центах. При одновременном звучании даёт биения. осцилляторов (oscillator)?осциллятор (oscillator) — Генератор повторяющегося колебания. Частота задаёт число повторений за секунду, а форма волны — изменение значения внутри одного периода. синтезатора и биения их гармоник показывает статья об осцилляторах.

Вероятность, распределение и ожидаемое среднее

Вероятность (probability)?вероятность (probability) — Число от 0 до 1, описывающее возможность события в заданной модели. Не обещает точную долю события в короткой серии опытов. описывает, насколько возможно событие в заданной модели: 0 означает невозможное, 1 — достоверное. Значение 0,25, или 25 %, не обещает ровно одно событие в каждой четвёрке опытов. Оно задаёт ожидаемую долю при большом числе повторений в одинаковых условиях.

Равномерное распределение (uniform distribution)?равномерное распределение (uniform distribution) — Распределение, в котором интервалы значений одинаковой ширины имеют одинаковую вероятность. Не определяет временные связи между отсчётами. на отрезке означает, что интервалы одинаковой ширины имеют одинаковую вероятность. В непрерывной модели от −1 до +1 интервал шириной 0,2 занимает десятую часть диапазона: вероятность попадания в него 0,1. Гистограмма (histogram)?гистограмма (histogram) — График числа наблюдений в интервалах значений. Показывает распределение значений, но не сохраняет их порядок во времени. конечного набора отсчётов будет неровной. Распределение не задаёт порядок значений во времени; для белого шума (white noise)?белый шум (white noise) — Шум с постоянной спектральной плотностью мощности в рассматриваемой полосе. Полосы одинаковой ширины в герцах содержат одинаковую ожидаемую мощность. этот порядок тоже важен (Smith, Histogram, Pmf and Pdf).

Математическое ожидание (expected value)?математическое ожидание (expected value) — Среднее значение, заданное вероятностной моделью. Для конечного набора возможных значений вычисляется как их сумма с весами-вероятностями. $E[X]$ — среднее, заданное распределением случайной величины $X$. Квадратные скобки здесь означают аргумент ожидания, а не номер отсчёта. Для конечного числа возможных значений это сумма значений с весами-вероятностями: $E[X]=\sum_i p_i x_i$, где $p_i\geq0$ и $\sum_i p_i=1$ (OpenStax, Mean or Expected Value).

Пусть источник выдаёт −1 и +1 с вероятностями 0,5 и 0,5. Тогда $E[X]=0{,}5\cdot(-1)+0{,}5\cdot1=0$. Но четыре фактически полученных значения могут быть −1, +1, +1, +1: их измеренное среднее равно 0,5. Модель и отдельное измерение не обязаны совпасть. Для симметричного непрерывного равномерного распределения от −1 до +1 ожидание также равно нулю (Smith, Signal vs. Underlying Process).

Гистограмма?гистограмма (histogram) — График числа наблюдений в интервалах значений. Показывает распределение значений, но не сохраняет их порядок во времени. делит диапазон значений на интервалы и показывает, сколько отсчётов попало в каждый. Она помогает оценить распределение, но теряет сведения о порядке отсчётов. Статистическая независимость (statistical independence)?статистическая независимость (statistical independence) — Знание значения одной случайной величины не меняет вероятностей значений другой. Это более сильное условие, чем отсутствие линейной корреляции. означает, что знание одного значения не меняет вероятности другого. У независимых отсчётов со значениями −1 и +1 с равными вероятностями знание предыдущего +1 не меняет вероятность следующего +1: она остаётся 0,5 (OpenStax, независимые события). Некоррелированность (uncorrelatedness)?некоррелированность (uncorrelatedness) — Отсутствие линейной статистической связи между случайными величинами. Само по себе не исключает другие виды зависимости. — более слабое условие: отсутствует линейная статистическая связь, хотя другая зависимость может сохраниться. В модели белого шума с неизменными статистическими свойствами достаточно некоррелированности разных отсчётов для постоянной PSD (power spectral density, PSD)?спектральная плотность мощности (power spectral density, PSD) — Распределение мощности сигнала на единицу частоты. Для безразмерных отсчётов измеряется в 1/Гц; мощность полосы соответствует площади под графиком PSD.; независимость обычно выбирают как более сильное удобное предположение (Julius O. Smith, White Noise).

Среднее значение фрагмента (sample mean)?среднее значение фрагмента (sample mean) — Сумма значений отсчётов конечного фрагмента, делённая на их число. Может отличаться от математического ожидания порождающего процесса. обозначим $\bar{x}$ («икс с чертой»):

В формуле RMS усредняют квадраты, а затем берут корень. Поэтому нулевое среднее не означает нулевой RMS. При симметричном равномерном распределении от −$A$ до +$A$ средний квадрат модели равен $A^2/3$, и RMS длинного шума приближается к $A/\sqrt{3}$. При $A=0{,}3$ это примерно 0,1732. Это свойство равномерной модели; для другого распределения с теми же границами ответ может отличаться (Smith, Digital Noise Generation).

Обратная пропорциональность

Запись $y\propto1/x$ читается «$y$ обратно пропорционально $x$»: при фиксированной константе $C$ получаем $y=C/x$, для положительных $x$. Например, при $C=100$ значения $x=10$, 20 и 40 дают $y=10$, 5 и 2,5. При удвоении аргумента результат уменьшается вдвое.

Так читают закон $S(f)\propto1/f$ для розового шума (pink noise)?розовый шум (pink noise) — Шум, PSD которого приблизительно обратно пропорциональна частоте в рабочей полосе: спад около 3 дБ на октаву и примерно одинаковая мощность октав.. Отношение PSD на частотах $2f$ и $f$ равно 1/2, что соответствует $10\lg(1/2)\approx-3{,}01$ дБ. При сравнении амплитуд используют множитель 20, при сравнении мощностей — 10; подробности есть в разделе о децибелах.

Плотность и мощность частотной полосы

Спектральная плотность мощности?спектральная плотность мощности (power spectral density, PSD) — Распределение мощности сигнала на единицу частоты. Для безразмерных отсчётов измеряется в 1/Гц; мощность полосы соответствует площади под графиком PSD. показывает мощность на герц. Если отсчёты безразмерны, её единица — $1/\text{Гц}$. При постоянной PSD $S=0{,}000001/\text{Гц}$ полоса шириной 100 Гц содержит мощность $S\cdot100\,\text{Гц}=0{,}0001$. Полоса 200 Гц содержит 0,0002. Мощность в этом цифровом расчёте — средний квадрат, безразмерная величина.

Если PSD меняется по частоте, полосу можно разбить на узкие ячейки, умножить PSD каждой ячейки на её ширину и сложить. Это приближённая площадь под графиком PSD. Для двух ячеек шириной 10 Гц с PSD $2\cdot10^{-6}/\text{Гц}$ и $1\cdot10^{-6}/\text{Гц}$ получается $10\cdot2\cdot10^{-6}+10\cdot1\cdot10^{-6}=0{,}00003$. Точность зависит от ширины ячеек и того, как меняется плотность внутри них (SciPy, Welch: density и spectrum).

Для сравнения мощности октав используем полосы $[f,2f]$. При переходе к $[2f,4f]$ каждая соответствующая частотная ячейка вдвое шире. У розового закона $1/f$ её PSD вдвое меньше, поэтому произведение плотности на ширину сохраняется. У белого шума PSD постоянна, и мощность следующей октавы удваивается (Whittle, характеристики розового шума).

Математика в статьях сайта

• Звуковая волна: обратная величина $1/f$, единицы, синус и перевод углов в сдвиг по времени.
• Дискретизация: $x(t)$ и $x[n]$, неравенство для полосы частот, округление, sinc и сумма по отсчётам.
• АЦП и ЦАП: степени двойки, деление диапазона на число кодов, модуль ошибки, приближённая формула сигнал/шум, логарифм выигрыша от передискретизации и разность ошибок в дельта-сигма-модуляторе.
• Аудиоданные в программах: целые индексы от 0 до $N-1$, произведения для числа отсчётов и байтов, деление для длительности.
• Устройство WAV-файла: шестнадцатеричная запись байтов, сборка числа из байтов по основанию 256, остаток от деления на 2 для байта выравнивания.
• Уровень сигнала и кривые равной громкости: логарифм отношения, сумма квадратов, корень и шкалы графика.
• LFO: доли, перенос угла в полуоткрытый интервал, модуль и кусочные функции. Например, $(l[n]+1)/2$ переводит диапазон $[-1,1]$ в $[0,1]$: сначала сдвигает его в $[0,2]$, затем уменьшает вдвое.
• Форматы сжатия звука: произведение частоты, разрядности (bit depth)?разрядность (bit depth) — Число бит для представления одного квантованного отсчёта. B бит дают 2ᴮ кодов; при равномерном квантовании шаг зависит также от полного диапазона сигнала. и числа каналов для битрейта (bit rate)?битрейт (bit rate) — Число бит на секунду звучания. У несжатого PCM равен произведению частоты дискретизации, разрядности и числа каналов: для CD 1 411 200 бит/с., разности соседних отсчётов для предсказания, деление на степень двойки с остатком в кодах Райса.
• Компрессор: вычитание отрицательных уровней, кусочная характеристика, экспонента, использование предыдущего состояния и установившееся значение рекуррентной формулы.
• Лимитер: минимум и среднее по скользящему окну, логарифм модуля отсчёта, косинус в оценке пика между отсчётами.
• Осцилляторы синтезатора: дробные степени двойки для нот, интервалов и центов, остаток от деления при отражении частот, биения и верхняя граница суммы.
• Однополюсный фильтр нижних частот: рекуррентная формула для звуковых отсчётов, экспонента и постоянная времени, степень $(1-a)^N$ в реакции на скачок.

Источники

• Smith J. O. III. Spectral Audio Signal Processing. White Noise. в списке литературы → — некоррелированные отсчёты, постоянная PSD и независимость цвета шума от распределения амплитуд.

• Illowsky B., Dean S. Introductory Statistics 2e. §3.2: Independent and Mutually Exclusive Events. в списке литературы → — смысл независимости.

• Illowsky B., Dean S. Introductory Statistics 2e. §4.2: Mean or Expected Value and Standard Deviation. в списке литературы → — среднее по вероятностям и отличие от результатов короткого опыта.

• Smith S. W. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. Гл. 2.3: Signal vs. Underlying Process, 2.4: Histogram, Pmf and Pdf и 2.6: Digital Noise Generation. в списке литературы → — распределение, измеренные статистики, равномерные случайные числа.

• Whittle R. DSP Generation of Pink Noise. в списке литературы → — PSD, закон $1/f$ и сравнение мощности октав.

• SciPy. Welch — смысл плотности мощности и нормирование спектральных оценок.

• Рабочий текст стандарта C++: побитовый AND, OR, унарные операторы, сдвиги, умножение и деление — операции с битами целых, ограничения типов, частное и остаток при делении целых.

• Wikipedia. Finite difference — разности назад, разности высших порядков и постоянная разность многочлена (раздел Polynomials).

• Abramson J. и др. Precalculus 2e. §1.1: Functions and Function Notation. в списке литературы → — функция и её аргумент.

• Abramson J. и др. Precalculus 2e. §5.1: Angles. в списке литературы → — радианы, дуга и перевод градусов.

• Abramson J. и др. Precalculus 2e. §5.4: Right Triangle Trigonometry и §5.2: Unit Circle, Sine and Cosine Functions. в списке литературы → — отношения сторон и координаты на окружности.

• Abramson J. и др. Precalculus 2e. §4.3: Logarithmic Functions, §4.5: Logarithmic Properties и §4.1: Exponential Functions. в списке литературы → — основания логарифмов, обратная операция и экспонента.

• Davies S. A Cool Brisk Walk Through Discrete Mathematics. §7.3: Hexadecimal (base 16) и §7.4: Binary (base 2). в списке литературы → — позиционная запись, биты, байт из 8 бит, шестнадцатеричная цифра как 4 бита, дополнительный код.

• Smith J. O. III. Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT) with Audio Applications. Decibels, Signal Metrics, Sampling Theorem и Exponentials. в списке литературы → — децибелы, RMS, идеальная интерполяция через sinc и постоянная времени экспоненты.

• MathWorks. compressor, Algorithms — статическая характеристика и коэффициенты сглаживания атаки и восстановления.

• Abramson J. и др. Precalculus 2e. §7.2: Sum and Difference Identities. в списке литературы → — формулы сложения углов.

• Abramson J. и др. Precalculus 2e. §7.4: Sum-to-Product and Product-to-Sum Formulas. в списке литературы → — сумма синусов как произведение.

• Nave C. R. HyperPhysics. Cents и Beats. в списке литературы → — цент как сотая доля темперированного полутона и частота биений как разность частот.

• Smith J. O. III. Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT) with Audio Applications. Sinusoids at the Same Frequency. в списке литературы → — сумма синусоид через две перпендикулярные составляющие.

• Smith S. W. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. Гл. 15.1: Implementation by Convolution. в списке литературы → — скользящее среднее как среднее последних отсчётов с одинаковыми весами.