Белый и розовый шум: спектр и генерация

Синусоида повторяет одну форму через каждый период (period)?период (period) — Время одного полного повторения периодического колебания. Обозначается T, измеряется в секундах и связано с частотой как T = 1/f.. Шум меняется так, что у обычного фрагмента нет одного повторяющегося цикла. В синтезаторе такой источник может дать шипение, дыхание или основу ударного звука: генератор создаёт отсчёты (sample)?отсчёт (sample) — Значение сигнала в один момент дискретизации, одно число. В звукозаписи его также называют сэмплом., а усиление, фильтр и огибающая (envelope)?огибающая (envelope) — Плавная кривая, которая следует за размахом волны и показывает, как уровень сигнала меняется во времени. определяют результат.

Белый (white noise)?белый шум (white noise) — Шум с постоянной спектральной плотностью мощности в рассматриваемой полосе. Полосы одинаковой ширины в герцах содержат одинаковую ожидаемую мощность. и розовый шум (pink noise)?розовый шум (pink noise) — Шум, PSD которого приблизительно обратно пропорциональна частоте в рабочей полосе: спад около 3 дБ на октаву и примерно одинаковая мощность октав. различаются распределением мощности по частотам (frequency)?частота (frequency) — Число полных колебаний за секунду. Обозначается f и измеряется в герцах; 1 Гц означает одно колебание в секунду.. Это статистическое свойство: конкретный фрагмент всегда немного отклоняется от ожидаемых значений.

Непериодический сигнал и псевдослучайные числа

У шумового сигнала (noise signal)?шумовой сигнал (noise signal) — Сигнал со случайными или псевдослучайными изменениями; обычный фрагмент не имеет одной повторяющейся периодической формы. нет определённой периодической формы. Физический источник, например тепловые флуктуации в электрической цепи, получает случайные изменения из самого процесса. Программа обычно использует генератор псевдослучайных чисел (pseudorandom number generator, PRNG)?генератор псевдослучайных чисел (pseudorandom number generator, PRNG) — Детерминированный алгоритм, который по текущему состоянию выдаёт следующее число и обновляет состояние. Одинаковое начало и порядок вызовов воспроизводят последовательность.: вычисляет следующее число по алгоритму и текущему состоянию.

Детерминированность удобна: можно повторить звук, сравнить две реализации или воспроизвести ошибку. Но последовательность не является физически случайной. У PRNG с конечным числом состояний состояние со временем повторяется, а вместе с ним повторяется последовательность. Поэтому «непериодический шум» здесь — модель и описание слышимого фрагмента, а не обещание бесконечно неповторяющихся чисел (Smith, Digital Noise Generation).

Seed: как повторить результат

Начальное состояние (seed)?начальное состояние генератора (seed) — Значение, задающее начало псевдослучайной последовательности. Воспроизводимость требует той же реализации и того же порядка вызовов., или seed, задаёт начало последовательности. Два генератора одной реализации с одинаковым seed дают одинаковые числа, если их вызывать одинаковое число раз и в одинаковом порядке. Один дополнительный вызов сдвигает дальнейший поток.

В JUCE для этого есть конструктор juce::Random (seed) и setSeed (seed). Конструктор без аргумента выбирает seed из меняющихся системных свойств; это всё ещё PRNG. Для примеров и проверок возьмём собственный juce::Random с явно заданным seed, а не общий getSystemRandom() (документация Random).

У getSeed() возвращается текущее состояние PRNG, а не обязательно значение, переданное при создании. Для воспроизведения с начала сохраните исходный seed отдельно. Для продолжения с середины розового шума одного состояния PRNG мало: понадобятся также сохранённые значения и счётчик его алгоритма.

Воспроизводимость относится к зафиксированной реализации. Изменение алгоритма, числа рядов розового генератора или арифметики может изменить результат даже при прежнем seed. Примеры ниже проверены с JUCE 9.0.3, C++20 и обычной арифметикой без fast-math.

Равномерные отсчёты и белый генератор

При равномерном распределении (uniform distribution)?равномерное распределение (uniform distribution) — Распределение, в котором интервалы значений одинаковой ширины имеют одинаковую вероятность. Не определяет временные связи между отсчётами. интервалы значений одинаковой ширины имеют одинаковую вероятность (probability)?вероятность (probability) — Число от 0 до 1, описывающее возможность события в заданной модели. Не обещает точную долю события в короткой серии опытов.. Например, у идеального распределения от −1 до +1 попадание в −0,8…−0,6 так же вероятно, как в 0,2…0,4. Это описание значений отдельных отсчётов; оно ещё ничего не говорит об их порядке во времени.

Самостоятельный класс требует модуля juce::juce_core:

// Один объект сохраняет состояние PRNG между отсчётами.
#include <juce_core/juce_core.h>

class WhiteNoise
{
public:
    explicit WhiteNoise (juce::int64 seed) noexcept : random (seed) {}

    void reset (juce::int64 seed) noexcept { random.setSeed (seed); }

    float nextSample() noexcept
    {
        return 2.0f * random.nextFloat() - 1.0f;
    }

private:
    juce::Random random;
};

Вызов WhiteNoise noise (2026); создаёт источник. Каждый noise.nextSample() выдаёт следующее значение. noise.reset (2026) повторяет последовательность с начала. Частота дискретизации (sample rate)?частота дискретизации (sample rate) — Число отсчётов в каждом канале за одну секунду, то же число кадров аудиоданных в секунду. Измеряется в герцах: 44 100 Гц означает 44 100 отсчётов на канал в секунду. задаётся тем, как часто потребитель вызывает генератор; у белого источника нет частоты основного тона.

Что означает «белый» спектр

Белый шум?белый шум (white noise) — Шум с постоянной спектральной плотностью мощности в рассматриваемой полосе. Полосы одинаковой ширины в герцах содержат одинаковую ожидаемую мощность. имеет приблизительно постоянную спектральную плотность мощности (power spectral density, PSD)?спектральная плотность мощности (power spectral density, PSD) — Распределение мощности сигнала на единицу частоты. Для безразмерных отсчётов измеряется в 1/Гц; мощность полосы соответствует площади под графиком PSD., PSD. Эта величина описывает мощность на единицу частоты. Для безразмерных отсчётов единица PSD — $1/\text{Гц}$; «мощностью сигнала» называем средний квадрат, а не электрические ватты.

Для такого спектра (spectrum)?спектр (spectrum) — Представление сигнала через его частотные составляющие: их частоты, амплитуды и фазы. Ограничение спектра задаёт, какие частоты допускаются в сигнале. нужны подходящие связи между отсчётами: в идеальной белой модели с нулевым средним значения в разные моменты некоррелированы, то есть не имеют линейной статистической связи. Это более слабое условие, чем статистическая независимость (statistical independence)?статистическая независимость (statistical independence) — Знание значения одной случайной величины не меняет вероятностей значений другой. Это более сильное условие, чем отсутствие линейной корреляции.. Равномерные числа хорошего PRNG приближают эту модель. Само равномерное распределение белизну не гарантирует: если каждое случайное число повторять тысячу раз подряд, гистограмма (histogram)?гистограмма (histogram) — График числа наблюдений в интервалах значений. Показывает распределение значений, но не сохраняет их порядок во времени. может остаться примерно равномерной, но появятся медленные ступени и изменится спектр. Белый шум также может иметь другое распределение амплитуд (amplitude)?амплитуда (amplitude) — Наибольший модуль отклонения колеблющейся величины от равновесного значения. Для синусоиды обозначается A; единицы совпадают с единицами сигнала., например нормальное.

Гистограмма?гистограмма (histogram) — График числа наблюдений в интервалах значений. Показывает распределение значений, но не сохраняет их порядок во времени. показывает, сколько отсчётов попало в каждый интервал значений. В отличие от неё, спектр учитывает порядок отсчётов (Julius O. Smith, White Noise).

Спектр одного короткого фрагмента неровный: одинаковая мощность относится к ожидаемым значениям, а столбики одного анализа отклоняются от них. Усреднение спектральных оценок нескольких участков уменьшает эти колебания.

Цветной шум и розовый наклон

У цветного шума (colored noise)?цветной шум (colored noise) — Шум, спектральная плотность мощности которого зависит от частоты. Цвет описывает спектральный баланс, а не распределение амплитуд отдельных отсчётов. PSD зависит от частоты. Для розового шума?розовый шум (pink noise) — Шум, PSD которого приблизительно обратно пропорциональна частоте в рабочей полосе: спад около 3 дБ на октаву и примерно одинаковая мощность октав. она приблизительно обратно пропорциональна частоте в рабочей полосе:

При этом мощность целой октавы остаётся примерно одинаковой. Полоса 1 000–2 000 Гц вдвое шире в герцах, чем 500–1 000 Гц, а PSD на соответствующих частотах вдвое меньше. Эти изменения компенсируются. У белого шума PSD не уменьшается, поэтому каждая следующая октава вдвое мощнее предыдущей — примерно на 3 дБ. Способ суммирования (summation)?суммирование (summation) — Сложение значений выражения при переборе указанных индексов. Например, сумма x[n] от n = 0 до N−1 включает ровно N отсчётов. мощности полос объяснён в разделе о плотности.

Идеальную зависимость $1/f$ нельзя продолжить до нулевой частоты при конечной общей мощности: по мере добавления всё более низких октав мощность продолжает расти. Практический генератор приближает розовый шум в ограниченной полосе; около её границ спектр отклоняется от идеала (Whittle, ограничения и анализ).

Сравнить спектр и звучание

Сначала посмотрите на PSD: белая линия примерно горизонтальна, розовая убывает. Затем на столбики октав: у белого шума они растут, у розового близки друг к другу, с отклонениями алгоритма и конечного измерения. Смена seed меняет фрагмент и измеренные значения, сохраняя общий характер спектра.

Розовый генератор Voss–McCartney

Алгоритм Voss–McCartney (Voss–McCartney algorithm)?алгоритм Voss–McCartney (Voss–McCartney algorithm) — Приближённая генерация розового шума суммированием случайных значений с разными интервалами обновления; состояние рядов сохраняется между отсчётами. складывает случайные значения, обновляющиеся через разные интервалы. Быстрые ряды дают быстрые изменения, медленные сохраняют значение дольше. Версия McCartney распределяет обновления так, чтобы за обычный шаг менять один сохранённый ряд. Ещё одно независимое псевдослучайное значение добавляется на каждом шаге и улучшает верхнюю часть спектра; она всё равно остаётся неровной (объяснение McCartney).

Следующий класс добавить после WhiteNoise. Выбраны 16 рядов, счётчик ограничен 16 битами. При его возврате в ноль сохранённые ряды не обновляем; новый белый компонент всё равно выдаём. Сумму обновляем разностью нового и прежнего значения, не пересчитывая все ряды каждый раз.

// Voss–McCartney: 16 сохранённых рядов и один белый компонент.
#include <array>
#include <bit>
#include <cstdint>

class PinkNoise
{
public:
    explicit PinkNoise (juce::int64 seed) noexcept : white (seed)
    {
        reset (seed);
    }

    void reset (juce::int64 seed) noexcept
    {
        white.reset (seed);
        counter = 0;
        sum = 0.0;
        for (auto& row : rows)
        {
            row = white.nextSample();
            sum += row;
        }
    }

    float nextSample() noexcept
    {
        counter = (counter + 1u) & 0xffffu;
        if (counter != 0u)
        {
            const auto index = std::countr_zero (counter);
            const double next = white.nextSample();
            sum += next - rows[index];
            rows[index] = next;
        }
        return static_cast<float> ((sum + white.nextSample()) / 17.0);
    }

private:
    WhiteNoise white;
    std::array<double, 16> rows {};
    std::uint32_t counter = 0;
    double sum = 0.0;
};

Состояние включает PRNG внутри white, rows, counter и sum. reset восстанавливает всё состояние, в том числе заранее заполняет ряды случайными значениями. Если сбросить только PRNG, сохранив старые ряды, начало последовательности не повторится. Здесь используется один PRNG, выдающий следующие значения для всех рядов и дополнительного компонента; независимость этих значений — приближение модели.

Деление на 17 нормирует сумму 17 ограниченных компонентов: в идеальной арифметике модуль результата не превышает 1. Сумма хранится в double, чтобы уменьшить накопление ошибок; нормирование по границе не является нормированием по RMS.

Самый медленный ряд обновляется раз в $2^{16}=65\,536$ отсчётов: при 48 кГц это около 1,37 с. Конечное число рядов ограничивает низкочастотное приближение; сверху сказываются удержание значений и белый компонент. Этот код подходит для учебного шумового источника синтезатора. Для измерительного сигнала с заданным допуском PSD нужны отдельные требования к полосе и точности и проверка по ним.

Среднее, DC offset, peak и RMS

Среднее значение (sample mean)?среднее значение фрагмента (sample mean) — Сумма значений отсчётов конечного фрагмента, делённая на их число. Может отличаться от математического ожидания порождающего процесса. фрагмента — сумма отсчётов, делённая на их количество. Постоянное смещение сигнала относительно нуля называют постоянной составляющей (DC offset)?постоянная составляющая (DC offset) — Постоянное смещение сигнала относительно нуля. Ненулевое среднее короткого фрагмента шума само по себе не доказывает такое смещение генератора., или DC offset. Например, сырые значения nextFloat() сосредоточены около 0,5; преобразование $2u-1$ центрирует их около нуля.

У идеального симметричного распределения ожидаемое среднее равно нулю. Но конечный фрагмент обычно имеет небольшое ненулевое среднее. Это само по себе не доказывает постоянное смещение генератора. У розового шума медленные составляющие могут надолго отклонять короткий фрагмент в одну сторону. Разница между ожиданием и измерением разобрана в математической справке.

Не стоит вычитать среднее отдельно из каждого аудиоблока: при смене блока получится новое смещение, а низкие частоты сигнала изменятся. Для конечной записи можно осмысленно удалить среднее всей записи. Для потока, которому действительно требуется подавление DC, используют фильтр с сохраняемым состоянием и выбранной нижней границей; это отдельная обработка.

Пик (peak level)?пиковый уровень (peak level) — Уровень наибольшего модуля отсчёта в выбранном фрагменте. В dBFS показывает запас до номинальной полной шкалы; межотсчётные пики здесь не учитываются. — наибольший модуль отсчёта; RMS?среднеквадратичный уровень (RMS level) — Корень из среднего квадрата значений сигнала на выбранном интервале. Имеет те же единицы, что и сигнал; у синусоиды за целое число периодов равен амплитуде, делённой на √2. — корень из среднего квадрата. У идеального равномерного шума в $[-A,A]$ ожидаемое среднее равно 0, а средний квадрат равен $A^2/3$, поэтому для длинной реализации RMS приближается к $A/\sqrt{3}$. При $A=1$ это около 0,577, или −4,77 dBFS (decibels relative to full scale)?dBFS (decibels relative to full scale) — Уровень цифрового сигнала в децибелах относительно полной шкалы. Для пиковых значений 0 dBFS соответствует её границе; формат с плавающей точкой допускает значения выше неё. Соглашение об опоре RMS указывают отдельно. в принятом на сайте соглашении без поправки AES17. Конкретные измерения и PRNG дают приближение (Smith, равномерный шум).

У розового генератора распределение выходных значений уже другое: складываются несколько компонентов. Его RMS нельзя вычислять как RMS одного равномерного источника с теми же пределами. Для проверки полезно измерять все три величины на фрагменте, явно задав его длину:

// Измерения непустого массива конечных отсчётов; все накопления в double.
#include <algorithm>
#include <cassert>
#include <cmath>

struct NoiseMetrics { double mean, peak, rms; };

NoiseMetrics measureNoise (const float* samples, int count) noexcept
{
    assert (samples != nullptr && count > 0);
    double sum = 0.0, squares = 0.0, peak = 0.0;
    for (int n = 0; n < count; ++n)
    {
        const double x = samples[n];
        sum += x;
        squares += x * x;
        peak = std::max (peak, std::abs (x));
    }
    return { sum / count, peak, std::sqrt (squares / count) };
}

Шумовой источник в аудиоблоке JUCE

Добавьте класс после двух генераторов. Нужен модуль juce::juce_audio_basics, который подключает и juce_core.

// Выделенный выходной буфер источника; один nextSample на кадр.
#include <juce_audio_basics/juce_audio_basics.h>

enum class NoiseColour { white, pink };

class NoiseSource
{
public:
    void reset (juce::int64 seed) noexcept
    {
        white.reset (seed);
        pink.reset (seed);
    }

    void setColour (NoiseColour value) noexcept { colour = value; }

    void process (juce::AudioBuffer<float>& output) noexcept
    {
        const int channels = output.getNumChannels();
        if (channels == 0)
            return;
        for (int n = 0; n < output.getNumSamples(); ++n)
        {
            const float sample = 0.2f * (colour == NoiseColour::white
                                       ? white.nextSample()
                                       : pink.nextSample());
            for (int channel = 0; channel < channels; ++channel)
                output.setSample (channel, n, sample);
        }
    }

private:
    WhiteNoise white { 2026 };
    PinkNoise pink { 2026 };
    NoiseColour colour = NoiseColour::white;
};

При подготовке источника вызовите reset (2026) и задайте цвет; каждый следующий блок просто передавайте в process. Размер блока может меняться, включая нулевую длину. Генератор выдаёт последовательность на кадр, поэтому обработка 512 кадров сразу и обработка тех же кадров частями дают одинаковый поток. Это тот же принцип сохранения состояния, что у фазового аккумулятора LFO.

Шум синтезатора и TPDF dither

У обычного TPDF-дизеринга (triangular probability density function dither, TPDF dither)?TPDF-дизеринг (triangular probability density function dither, TPDF dither) — Шум с треугольным распределением амплитуд, добавляемый перед квантованием. В обычной схеме его размах равен двум шагам квантования. распределение амплитуд треугольное. Его можно получить суммой двух независимых равномерных шумов, каждый от $-\Delta/2$ до $+\Delta/2$, где $\Delta$ — шаг квантования в выбранной шкале. Итоговый диапазон примерно $[-\Delta,+\Delta]$, то есть два шага от минимума до максимума. Для 16-битного PCM при масштабе 32768 шаг $\Delta=1/32768\approx0{,}0000305$.

Для идеального равномерного квантования (uniform quantization)?равномерное квантование (uniform quantization) — Квантование с одинаковым расстоянием между соседними представимыми уровнями. Это расстояние называется шагом квантования. без перегрузки и при выполнении условий независимости dither такой шум делает среднее и средний квадрат полной ошибки независимыми от входного значения. Несубтрактивный означает, что добавленный шум после квантования (quantization)?квантование (quantization) — Замена значения отсчёта одним из конечного набора представимых уровней. Разность между выбранным уровнем и исходным значением называется ошибкой квантования. не вычитают. Это не означает полной статистической независимости ошибки и сигнала и не возвращает потерянную точность (Wannamaker и соавторы, раздел о практических распределениях).

Розовый шум и белый шум синтезатора не становятся подходящим TPDF-dither только от уменьшения громкости: важны распределение, временные свойства, масштаб и место добавления. Слышимый шум в миксе также не заменяет специально выбранный dither перед кодером. Само округление (rounding)?округление (rounding) — Замена числа ближайшим допустимым значением, например ближайшим целым для round. Выбор при равном расстоянии до двух значений определяется отдельным соглашением. и назначение дизеринга разобраны в целочисленном PCM.

Самопроверка

Источники

• Smith J. O. III. Spectral Audio Signal Processing. White Noise. в списке литературы → — временные связи, белый спектр и распределение амплитуд.

• Smith S. W. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. Гл. 2.6: Digital Noise Generation. в списке литературы → — равномерные числа, seed, псевдослучайность и сложение распределений. Глава 2.2 и глава 2.3 — среднее, DC, RMS и разница сигнала с порождающим процессом.

• JUCE. Random и исходник версии 9.0.3 — seed, текущее состояние, LCG и границы nextFloat.

• Whittle R. DSP Generation of Pink Noise. в списке литературы → — белая и розовая PSD; опубликованные сообщения James McCartney, дополнительный белый компонент и анализ Allan Herriman. Код статьи написан по описанию алгоритма.

• Рабочий текст стандарта C++, Counting functions — std::countr_zero из <bit>.

• SciPy. Welch — сегменты, окно Hann, усреднение и нормирование PSD. Реализация браузерного анализа собственная.

• Smith J. O. III. Spectral Audio Signal Processing. Welch’s Method. в списке литературы → — периодограммы последовательных блоков, их усреднение и выбор между разрешением и устойчивостью оценки.

• Bencina R. Real-time audio programming 101: time waits for nothing. в списке литературы → — операции, которые могут заблокировать аудиопоток: блокировки, выделение памяти, обращение к диску.

• Wannamaker R. A., Lipshitz S. P., Vanderkooy J., Wright J. N. A Theory of Nonsubtractive Dither. в списке литературы → — авторская копия, раздел Practical Dither Signals, TPDF с размахом два шага квантования и ограничения независимости ошибки.