АЦП и ЦАП

Микрофон (microphone)?микрофон (microphone) — Устройство, преобразующее звуковые колебания в электрический сигнал. В идеальной модели напряжение на выходе пропорционально звуковому давлению. выдаёт меняющееся напряжение, а компьютер хранит числа. При записи нужно измерить напряжение и записать результат числом; при воспроизведении — получить из чисел электрический сигнал для усилителя и динамика. За эти переходы отвечают два преобразователя.

Что делают АЦП и ЦАП

Аналого-цифровое преобразование (analog-to-digital conversion, A/D conversion)?аналого-цифровое преобразование (analog-to-digital conversion, A/D conversion) — Перевод аналогового сигнала в последовательность цифровых отсчётов: выбор моментов измерений и квантование их значений. — перевод аналогового аудиосигнала (analog audio signal)?аналоговый аудиосигнал (analog audio signal) — Электрическое напряжение или ток, непрерывные во времени и по значению и представляющие звуковые колебания. В идеальной модели форма сигнала повторяет изменения звукового давления. в последовательность цифровых отсчётов (sample)?отсчёт (sample) — Значение сигнала в один момент дискретизации, одно число. В звукозаписи его также называют сэмплом.. Его выполняет аналого-цифровой преобразователь, АЦП (analog-to-digital converter, ADC)?АЦП (analog-to-digital converter, ADC) — Аналого-цифровой преобразователь: устройство, которое измеряет аналоговый электрический сигнал и выдаёт цифровые коды отсчётов.. На входе у него напряжение, на выходе — коды результатов измерений.

Обратный переход называется цифро-аналоговым преобразованием (digital-to-analog conversion, D/A conversion)?цифро-аналоговое преобразование (digital-to-analog conversion, D/A conversion) — Преобразование последовательности цифровых отсчётов в аналоговый электрический сигнал; восстановительный фильтр подавляет высокочастотные спектральные копии.. Цифро-аналоговый преобразователь, ЦАП (digital-to-analog converter, DAC)?ЦАП (digital-to-analog converter, DAC) — Цифро-аналоговый преобразователь: устройство, которое получает цифровые отсчёты и формирует соответствующий им аналоговый электрический сигнал. получает отсчёты и формирует соответствующий им аналоговый сигнал. Компьютер может изменить числа между записью и воспроизведением: например, уменьшить все значения вдвое, чтобы ослабить сигнал.

АЦП работает с электрическим сигналом, который создал микрофон. ЦАП тоже выдаёт электрический сигнал; в колебания воздуха его превращает динамик. Фильтры до и после преобразователей входят в тракт записи и воспроизведения (Smith, глава 3.4).

Два шага оцифровки

При дискретизации (sampling)?дискретизация (sampling) — Измерение непрерывного сигнала через равные промежутки времени: вместо функции времени сохраняется последовательность отсчётов. напряжение измеряют через равные интервалы времени. Каждый результат — отсчёт?отсчёт (sample) — Значение сигнала в один момент дискретизации, одно число. В звукозаписи его также называют сэмплом.. В математической модели дискретизации это точное значение напряжения: например, 0,371 В.

Чтобы записать результат конечным числом бит, нужно выбрать один из заранее заданных уровней. Такое округление (rounding)?округление (rounding) — Замена числа ближайшим допустимым значением, например ближайшим целым для round. Выбор при равном расстоянии до двух значений определяется отдельным соглашением. называется квантованием (quantization)?квантование (quantization) — Замена значения отсчёта одним из конечного набора представимых уровней. Разность между выбранным уровнем и исходным значением называется ошибкой квантования.. Если ближайший уровень равен 0,375 В, вместо 0,371 В будет сохранён его код. Разница составляет +0,004 В. Эти шаги ограничивают разные свойства сигнала (Smith, глава 3.1).

Таблица 1 сопоставляет два шага. Это модель преобразования; внутри микросхемы они могут быть устроены сложнее.

Шаг квантования на числовом примере

При равномерном квантовании (uniform quantization)?равномерное квантование (uniform quantization) — Квантование с одинаковым расстоянием между соседними представимыми уровнями. Это расстояние называется шагом квантования. расстояние между соседними уровнями одинаково. Если полный диапазон входного напряжения разделён на $2^B$ равных интервалов, шаг квантования (quantization step)?шаг квантования (quantization step) — Разность между соседними уровнями равномерного квантования. Для диапазона шириной R, разделённого на 2ᴮ равных интервалов, шаг Δ = R/2ᴮ. задаёт формула 1.

Возьмём учебный АЦП с диапазоном от −1 до +1 В и разрядностью 3 бита. Ширина диапазона $R = 2$ В, кодов восемь, шаг $\Delta = 2/8 = 0{,}25$ В. Уровни поместим в центры восьми интервалов: −0,875; −0,625; −0,375; −0,125; +0,125; +0,375; +0,625; +0,875 В. Назначим им коды от 000 до 111 по возрастанию.

Таблица 2 показывает несколько измерений. Ошибка квантования (quantization error)?ошибка квантования (quantization error) — Разность между выбранным представимым уровнем и исходным значением отсчёта. При округлении к ближайшему уровню внутри предусмотренного диапазона её модуль не превышает половины шага. равна выбранному уровню минус исходное значение.

При округлении к ближайшему уровню ошибка не превышает половины шага, пока вход остаётся в предусмотренном диапазоне: здесь $\Delta/2 = 0{,}125$ В. В точке между двумя уровнями оба одинаково близки; для этого примера выберем верхний. Поэтому 0 В кодируется как +0,125 В, с ошибкой ровно в половину шага. Эта модель не имеет отдельного нулевого уровня; реальные форматы аудио могут иметь его и иначе распределять крайние значения.

При том же диапазоне 2 В и 16 битах шаг составит $2/65\,536 \approx 30{,}5$ мкВ. Ещё один бит удваивает число уровней и уменьшает шаг вдвое. Частота измерений при этом не меняется.

При том же диапазоне 2 В разрядность увеличили с 3 до 4 бит. Как изменятся шаг квантования и число отсчётов за секунду?

Уровней станет 16, шаг уменьшится до $2/16 = 0{,}125$ В. Число отсчётов за секунду останется прежним, если частоту дискретизации не меняли.

Ошибка квантования и пределы разрядности

Для идеального равномерного преобразователя отношение сигнал/шум (signal-to-noise ratio, SNR)?отношение сигнал/шум (signal-to-noise ratio, SNR) — Отношение мощности полезного сигнала к мощности шума; в децибелах — 10 lg(Pсигнал/Pшум). Результат зависит от полосы измерения и условий сигнала. приблизительно равно $6{,}02B + 1{,}76$ дБ: около 98 дБ при 16 битах и 146 дБ при 24. Здесь сигнал — синусоида с амплитудой (amplitude)?амплитуда (amplitude) — Наибольший модуль отклонения колеблющейся величины от равновесного значения. Для синусоиды обозначается A; единицы совпадают с единицами сигнала. полной шкалы (full scale)?полная шкала (full scale) — Опорная граница уровня выбранного аудиоформата или тракта. Для нормированных аудиоотсчётов обычно принята за ±1; числовой формат с плавающей точкой способен хранить значения за этой границей., а шум квантования считается некоррелированным с ней и измеряется во всей полосе от 0 до $f_s/2$. Это расчёт для идеальной модели, не обещание характеристик звуковой карты (Kester, MT-001).

От чисел к напряжению

При воспроизведении ЦАП получает коды по порядку и преобразует их в соответствующие электрические уровни. В простой модели он удерживает уровень до следующего отсчёта — на выходе получается ступенчатое напряжение. Этот способ называют удержанием нулевого порядка (zero-order hold)?удержание нулевого порядка (zero-order hold) — Способ формирования сигнала, при котором значение каждого отсчёта удерживается постоянным до следующего. Получается ступенчатая форма напряжения..

В аудио-ЦАПах применяют и передискретизацию (oversampling)?передискретизация (oversampling) — Работа с частотой дискретизации выше необходимой для полезной полосы. В АЦП уменьшает долю шума квантования в полезной полосе и смягчает требования к входному фильтру, в ЦАПе отодвигает спектральные копии. Новых сведений об исходном звуке не добавляет.: цифровой фильтр вычисляет дополнительные значения, повышая внутреннюю частоту обновления. Спектральные копии отодвигаются от полезной полосы, и требования к аналоговому фильтру становятся мягче. Входная запись при этом сохраняет свою частоту дискретизации; дополнительных сведений об исходном звуке не появляется (Kester, MT-017, с. 1–2).

Передискретизация в АЦП

Передискретизацию применяют и при записи. АЦП измеряет напряжение с частотой $L f_s$, в $L$ раз выше нужной. Затем цифровой фильтр нижних частот оставляет полосу до $f_s/2$, и из каждых $L$ отсчётов сохраняется один. Такое понижение частоты дискретизации называют децимацией (decimation)?децимация (decimation) — Понижение частоты дискретизации: цифровой фильтр нижних частот ограничивает полосу, затем сохраняется каждый L-й отсчёт. (Zölzer, «Digital Audio Signal Processing», §4.1.2, с. 98–100; Baker, ч. 2). Выигрыш двоякий.

Первый касается входного фильтра. Без передискретизации аналоговый антиалиасинговый фильтр должен пропустить полосу до $f_B$ и подавить всё, что выше $f_s/2$: при 48 кГц и полосе 20 кГц на переход остаётся 4 кГц. С передискретизацией резкую границу у $f_s/2$ проводит цифровой фильтр перед децимацией, а аналоговому достаточно ослабить частоты около намного более высокой частоты $L f_s$. Его переходная полоса может быть широкой (там же, с. 100).

Удвоение частоты даёт 3 дБ, учетверение — 6 дБ, то есть один бит. 16-битный квантователь при $L = 64$ выигрывает 18 дБ и даёт отношение сигнал/шум, как 19-битный. Но так выигрыш растёт медленно: чтобы получить 8 дополнительных бит, понадобилось бы $L = 4^8 = 65\,536$.

Дельта-сигма: шум уходит вверх

Дельта-сигма-модуляция (delta-sigma modulation)?дельта-сигма-модуляция (delta-sigma modulation) — Преобразование с передискретизацией и обратной связью: грубый, часто однобитный квантователь вместе с интегратором выносит шум квантования к высоким частотам, где его убирает фильтр. добавляет к передискретизации обратную связь. Она не уменьшает шум квантования, а переносит его к высоким частотам, за полезную полосу. Такое перераспределение называют формированием спектра шума (noise shaping)?формирование спектра шума (noise shaping) — Перераспределение шума квантования по частотам с помощью обратной связи: в полезной полосе шума становится меньше, за её пределами — больше. (Zölzer, §4.1.3, с. 100–107; Baker, ч. 1).

В модуляторе первого порядка интегратор накапливает разность между входом и предыдущим выходом, а грубый квантователь, часто однобитный, выдаёт +1 или −1. Чем выше вход, тем чаще на выходе +1, и в среднем выход следует за входом (Baker, ч. 1). Ошибка квантования каждого отсчёта вычитается на следующем шаге, поэтому выход описывает формула 3 (Zölzer, с. 102, формула 4.7).

В модуляторе второго порядка ошибка входит второй разностью, $e[n] - 2e[n-1] + e[n-2]$, и шум прижимается к высоким частотам ещё сильнее (Zölzer, с. 105–106). Таблица 3 сравнивает выигрыш в полезной полосе с тем же квантователем без передискретизации. Простая передискретизация даёт 3 дБ на каждое удвоение $L$, модулятор первого порядка — 9 дБ, второго — 15 дБ.

Поэтому модулятору хватает квантователя в один бит. Многоразрядные отсчёты получаются потом: цифровой фильтр усредняет поток однобитных значений, убирает вынесенный вверх шум и при децимации выдаёт отсчёты нужной разрядности на частоте $f_s$ (Zölzer, с. 102; Baker, ч. 2). Большинство модуляторов в преобразователях имеют порядок выше первого: у Texas Instruments — со второго по шестой (Baker, ч. 1). В ЦАП путь обратный: отсчёты передискретизируют, цифровой модулятор превращает их в однобитный поток, а аналоговый фильтр убирает вынесенный вверх шум (Zölzer, с. 102, рис. 4.10).

Сколько даёт передискретизация в 16 раз без формирования спектра шума и сколько — с модулятором первого порядка?

Без формирования спектра шума $10 \lg 16 \approx 12$ дБ, то есть два бита. Модулятор первого порядка по таблице 3 даёт около 31 дБ: примерно на 19 дБ больше.

Что можно восстановить

Перед АЦП антиалиасинговый фильтр (anti-aliasing filter)?антиалиасинговый фильтр (anti-aliasing filter) — Фильтр перед дискретизацией, который ослабляет составляющие, способные вызвать наложение спектров. В обычном аудиотракте это фильтр нижних частот перед АЦП. ослабляет частоты, которые при дискретизации вызвали бы наложение спектров (aliasing)?наложение спектров (aliasing) — Наложение частотных составляющих при дискретизации: разные непрерывные сигналы дают одинаковые отсчёты. Частота выше границы Найквиста может проявиться как более низкая.. После ЦАПа восстановительный фильтр подавляет высокочастотные копии. Их задачи различаются: выходной фильтр не исправляет наложение, которое уже произошло при записи (Smith, глава 3.4).

В идеальной модели без квантования сигнал, все частоты которого строго ниже $f_s/2$, можно точно восстановить по отсчётам — это теорема отсчётов (sampling theorem)?теорема отсчётов (sampling theorem) — В принятой низкочастотной модели непрерывный сигнал можно точно восстановить по всем точным равномерным отсчётам, если его спектр лежит строго ниже половины частоты дискретизации. Также известна как теорема Котельникова.. В настоящей записи ЦАП получает уже округлённые значения. Например, код 101 из таблицы 2 сообщает уровень +0,375 В, но не позволяет узнать, было на входе +0,371 или +0,380 В. Фильтр не возвращает эту утраченную точность.

На вход АЦП с частотой дискретизации 8 кГц попал тон 5 кГц без антиалиасингового фильтра. Исправит ли запись переход с 16 на 24 бита или лучший выходной фильтр?

Нет. При такой частоте дискретизации тон 5 кГц даёт отсчёты, совместимые с тоном 3 кГц, как показано в разделе о наложении спектров. Разрядность меняет точность уровней, а выходной фильтр не может определить, какой из двух тонов был на входе. Предотвратить это нужно до дискретизации.

Источники

• Smith S. W. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. Гл. 3.1: Quantization. в списке литературы → — разделение дискретизации и квантования, ошибка округления и собственный шум тракта.
• Smith S. W. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. Гл. 3.3: Digital-to-Analog Conversion. в списке литературы → — удержание уровня, спектральные копии и компенсация частотной характеристики.
• Smith S. W. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. Гл. 3.4: Analog Filters for Data Conversion. в списке литературы → — назначение входного антиалиасингового и выходного восстановительного фильтров.
• Kester W. MT-001: Taking the Mystery out of the Infamous Formula, “SNR = 6.02N + 1.76dB,” and Why You Should Care. в списке литературы → — идеальный равномерный преобразователь, ошибка в половину шага и условия расчёта SNR.
• Kester W. MT-017: Oversampling Interpolating DACs. С. 1–2. в списке литературы → — передискретизация, цифровой фильтр и упрощение аналогового выходного фильтра.
• Zölzer U. Digital Audio Signal Processing. §4.1, с. 97–107. в списке литературы → — передискретизация в АЦП и ЦАП, распределение шума квантования по полосе $L f_s$ и выигрыш $10 \lg L$, децимация, дельта-сигма-модуляторы первого и второго порядка и многоступенчатый, формирование спектра шума.
• Baker B. How delta-sigma ADCs work, Part 1. в списке литературы → — модулятор первого порядка с однобитным квантователем и однобитным ЦАП в обратной связи, вынос шума к высоким частотам, порядок модуляторов в преобразователях Texas Instruments.
• Baker B. How delta-sigma ADCs work, Part 2. в списке литературы → — цифровой фильтр и децимация в дельта-сигма-АЦП, многоразрядные отсчёты из однобитного потока.