Дисторшн и сатурация: передаточная кривая и гармоники

Перегруз гитарного усилителя, насыщение ленты и срезанные вершины на мастер-шине получаются одним способом: каждый отсчёт пропускают через функцию, которая меняет выход не пропорционально входу. Ниже разобрано, как такая функция добавляет гармоники, чем мягкая кривая отличается от жёсткого среза, откуда берутся чётные гармоники и постоянная составляющая и где в цепи ставить фильтры. Затем — сатурация в сведении, код на C++23 и JUCE.

Нелинейность без памяти

Такая система задаётся одной функцией $y[n] = f(x[n])$. Её график — передаточная кривая (transfer curve, waveshaper)?передаточная кривая (transfer curve, waveshaper) — Функция y = f(x), по которой обработка без памяти пересчитывает каждый входной отсчёт в выходной. Прямая y = x ничего не меняет, любой изгиб добавляет гармоники.: по горизонтали значение входа, по вертикали значение выхода (Reiss, McPherson, гл. 8). Прямая $y = x$ ничего не меняет, прямая $y = 0{,}5x$ — только громкость. Любой изгиб меняет форму волны. Эффект, который строят на изгибе намеренно, называют дисторшном (distortion)?дисторшн (distortion) — Эффект, который намеренно искажает форму волны передаточной кривой и добавляет гармоники. В узком смысле — сильное искажение, когда сигнал большую часть времени проходит изогнутый участок кривой.. Второе название кривой — waveshaper, «формирователь волны». Её вычисляют по формуле или хранят таблицей значений и читают с интерполяцией; таблица позволяет задать любую форму (Reiss, McPherson, с. 195).

Первый пример уже разобран в статье о лимитере: клиппер (clipper)?клиппер (clipper) — Обработчик, который заменяет каждое значение выше границы самой границей, а остальные оставляет. Меняет форму волны внутри периода и добавляет гармоники. оставляет значения внутри $[-1, 1]$ и заменяет всё, что за пределами, на $\pm1$. Это кусочная функция из двух горизонталей и отрезка прямой. Синусоида с амплитудой 1,5 теряет вершины и получает третью гармонику на 16,5 дБ ниже основной, пятую — на 35,6 дБ, седьмую — на 32,2 дБ. Тот же излом даёт перегруз цифровой шины, когда сумма выходит за 0 dBFS (decibels relative to full scale)?dBFS (decibels relative to full scale) — Уровень цифрового сигнала в децибелах относительно полной шкалы. Для пиковых значений 0 dBFS соответствует её границе; формат с плавающей точкой допускает значения выше неё. Соглашение об опоре RMS указывают отдельно. (статья о микшировании).

Названия эффектов различают по тому, какую часть кривой проходит сигнал. Овердрайв (overdrive) почти линеен на тихом сигнале и искажает громкий. Дисторшн в узком смысле работает в основном на изогнутом участке, фузз (fuzz) — почти целиком в насыщении, его форма волны близка к прямоугольной. Чёткой границы между ними нет, и все три описываются одной передаточной кривой (Reiss, McPherson, с. 184; DAFX, §4.3.2).

Мягкие кривые

Жёсткий срез до предела не искажает ничего, а за пределом сразу ломает вершину. Мягкая кривая загибается постепенно: чем ближе вход к пределу, тем меньше прирост выхода. Такое поведение называют сатурацией (saturation)?сатурация (saturation) — Мягкое насыщение: с ростом входа выход растёт всё медленнее и плавно подходит к пределу. Тихий сигнал почти не меняется, громкий получает гармоники и сжатые пики., насыщением. Так ведут себя лампа, магнитная лента и германиевые диоды, а кремниевые диоды и многие транзисторные каскады ближе к жёсткому срезу (Reiss, McPherson, с. 187; DAFX, §4.3.4).

Три распространённые мягкие кривые — гиперболический тангенс (hyperbolic tangent, tanh)?гиперболический тангенс (hyperbolic tangent, tanh) — Функция tanh u = (eᵘ − e⁻ᵘ)/(eᵘ + e⁻ᵘ). Около нуля почти совпадает с u, при росте |u| плавно приближается к ±1, не достигая их., кубическая и арктангенс — в формуле (1) записаны так, чтобы их было удобно сравнивать: в нуле наклон 1, тихий сигнал проходит без изменений, а выход не выходит за $\pm1$. Определения $\tanh$ и $\arctan$ — в математической статье.

Кубическая кривая — та же $u - u^3/3$, что в статье о лимитере, растянутая так, чтобы предел 1 достигался при входе 1,5. Сравните на рисунке 1: $\tanh$ подходит к пределу быстрее арктангенса, кубическая кривая касается его в точке $u = 1{,}5$ и дальше идёт горизонтально. В книгах встречается и другая нормировка: $\tanh(ku)/\tanh k$ доходит до 1 ровно при $u = 1$, но наклон в нуле у неё больше единицы (Pirkle, §19.8).

Входное усиление и уровень на выходе

Перед кривой сигнал умножают на входное усиление $G$, которое на панели плагина называют drive или gain: $y = f(G\,x)$. Сама кривая не меняется, но тон с большей амплитудой проходит дальше по ней и сильнее загибается. Регулятор входного усиления меняет степень искажения, и именно его в первую очередь крутят при сведении (Reiss, McPherson, с. 187–188; Senior, §12.1).

Таблица 1 показывает это на тоне 220 Гц с амплитудой 0,5 (−6 dBFS). При $G = 1$ мягкие кривые уже добавляют третью гармонику на 28–40 дБ ниже основной, а жёсткий срез ещё ничего не меняет: амплитуда 0,5 не доходит до излома. При +6 дБ тон доходит до 0,998 и срез по-прежнему его не трогает. При +12 дБ все кривые дают третью гармонику на 13–16 дБ ниже основной, а при +24 дБ форма волны у всех близка к прямоугольной. У прямоугольника нечётные гармоники убывают как $1/k$: третья на 9,5 дБ ниже основной, и все четыре кривые подходят к этому пределу (Reiss, McPherson, с. 188).

Гармоники

Если вход периодичен с периодом $T$, то выход кривой без памяти повторяет его каждые $T$ секунд. Периодический сигнал раскладывается на синусоиды с частотами, кратными $1/T$, поэтому после кривой тон 220 Гц превращается в набор составляющих 0, 220, 440, 660 Гц и так далее: постоянную составляющую, основную частоту и гармоники (Zölzer, §10.1, с. 342).

Откуда они берутся, видно на степенях. Кривую около нуля можно приблизить многочленом $c_1u + c_2u^2 + c_3u^3 + \dots$. Тождества из математической статьи показывают, что даёт каждая степень синусоиды:

Квадрат добавляет постоянную составляющую и вторую гармонику, куб — третью гармонику и вклад в основную. Многочлен степени $N$ даёт гармоники не выше $N$-й (Reiss, McPherson, с. 191–193). Кубическая кривая из формулы (1) поэтому, пока вход не дошёл до излома в 1,5, создаёт ровно одну третью гармонику. Гиперболический тангенс и арктангенс многочленом не записываются, и их гармоники идут до бесконечности, быстро убывая. Жёсткий срез даёт излом, и его гармоники убывают медленнее всего.

Симметричная кривая: только нечётные гармоники

Все кривые рисунка 1 симметричны относительно начала координат: $f(-u) = -f(u)$. Такие функции называют нечётными (odd function)?нечётная функция (odd function) — Функция, для которой f(−u) = −f(u) при любом u. Её график симметричен относительно начала координат; пример — синус. (математическая статья). Через полпериода синусоида меняет знак: $\sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$. Нечётная кривая сохраняет это свойство и на выходе: вторая половина периода — зеркальная копия первой со сменой знака. Нечётные гармоники при сдвиге на $\pi$ меняют знак, чётные и постоянная составляющая — нет. Чтобы выход сменил знак целиком, чётных составляющих в нём быть не может. У симметричной кривой на выходе только основная, третья, пятая и следующие нечётные гармоники (Zölzer, §10.2, с. 345; Reiss, McPherson, с. 190–193).

Эту картину показывает визуализация 2 в начальном состоянии: столбцы стоят только на нечётных номерах. Смена формы кривой и входного усиления меняет их высоту, но чётные не появляются.

Попробуйте. Выберите «жёсткое ограничение» и уменьшите входное усиление до +6 дБ: гармоники исчезают, тон проходит прямой участок. Верните +12 дБ и сравните на слух с гиперболическим тангенсом: у жёсткого среза выше пятая и седьмая гармоники. Затем сдвиньте рабочую точку и выключите «Убрать постоянную составляющую».

Асимметрия: чётные гармоники и постоянная составляющая

Лампа в усилителе работает не в центре своей характеристики: рабочую точку задаёт напряжение смещения. Триод имеет характеристику, близкую к квадратичной, и, кроме основной частоты, даёт заметную вторую гармонику; у выхода смещается среднее значение (DAFX, §4.3.1, с. 117–118). Цифровую модель такого поведения получают, сдвинув рабочую точку той же кривой на $b$:

Вычитание $f(b)$ оставляет тишину тишиной: при $x = 0$ выход равен нулю. Но для тона положительная и отрицательная полуволны теперь проходят разные участки кривой. Положительная идёт к пределу и сжимается сильнее, отрицательная — по более пологому участку. Кривая больше не нечётная, и в выходе появляются чётные гармоники и постоянная составляющая (Reiss, McPherson, с. 188–193). Таблица 2 показывает рост второй гармоники со смещением: при $b = 0{,}5$ она уже сильнее третьей.

Асимметрию строят и по-другому: умножают положительные и отрицательные значения на разное усиление или пропускают через разные функции. Если две ветви сходятся в нуле с разным наклоном, на кривой появляется излом, а он сам добавляет высокие гармоники, обычно нежелательные; сдвиг рабочей точки гладкой кривой излома не даёт (Pirkle, §19.8.1). Крайний случай асимметрии — выпрямитель: модуль $|x|$ переворачивает отрицательные полуволны, частота основной удваивается, и тон звучит на октаву (octave)?октава (octave) — Музыкальный интервал между нотами одного названия в соседних регистрах. Соответствует отношению частот 2:1. выше (Reiss, McPherson, с. 188–189).

Удаление постоянной составляющей

Постоянная составляющая (DC offset)?постоянная составляющая (DC offset) — Постоянное смещение сигнала относительно нуля. Ненулевое среднее короткого фрагмента шума само по себе не доказывает такое смещение генератора. не слышна, но мешает. Волна смещается, и пик в одну сторону растёт: при $b = 0{,}5$ и входном усилении +24 дБ выход идёт от −1,46 до 0,54, а после вычитания постоянной составляющей −0,42 — в пределах ±1,04. Следующая нелинейность получает уже сдвинутую рабочую точку. При включении и выключении эффекта скачок среднего значения звучит щелчком. Поэтому после асимметричной кривой ставят фильтр верхних частот (high-pass filter, HPF)?фильтр верхних частот (high-pass filter, HPF) — Фильтр, который пропускает частоты выше частоты среза и ослабляет частоты ниже неё. В сведении убирает гул и низкочастотные помехи. с частотой среза ниже слышимого диапазона, например 20 Гц (DAFX, §4.3.1, с. 117, 122).

Простейший такой фильтр — однополюсный блокиратор постоянной составляющей (DC blocker) из формулы (5): ноль на нулевой частоте и полюс рядом с ним (J. O. Smith, DC Blocker).

При частоте дискретизации (sample rate)?частота дискретизации (sample rate) — Число отсчётов в каждом канале за одну секунду, то же число кадров аудиоданных в секунду. Измеряется в герцах: 44 100 Гц означает 44 100 отсчётов на канал в секунду. $f_s = 48$ кГц и $f_c = 20$ Гц коэффициент $R \approx 0{,}99739$. Расчёт частотной характеристики даёт ослабление 3,0 дБ на 20 Гц, 7,0 дБ на 10 Гц и всего 0,02 дБ на 220 Гц; сдвиг фазы на 220 Гц около 5°. Разность $x[n] - x[n-1]$ убирает постоянное значение полностью, а обратная связь с $R$ возвращает всё, что меняется быстрее примерно $f_c$. Как устроены полюс и ноль такого фильтра, разобрано в статье о цифровых фильтрах.

Два тона и интермодуляция

Место в цепи

• Фильтр нижних частот до кривой ослабляет высокие частоты входа, и они меньше участвуют в интермодуляции.
• Фильтр верхних частот до кривой убирает низ, который при перегрузе превращается в гул. В учебном примере JUCE по дисторшну он стоит первым, с частотой среза 1 кГц (JUCE, Add distortion through waveshaping and convolution).
• Фильтр нижних частот после кривой срезает верхние гармоники, когда звук получается резким. Педаль вау-вау перед дисторшном звучит иначе, чем после него: в первом случае фильтр выбирает, какие частоты перегрузить, во втором окрашивает уже искажённый звук (Reiss, McPherson, с. 201).
• Фильтр постоянной составляющей после кривой нужен, если кривая асимметрична.

Уровень на входе кривой — часть звучания, а не только громкость. Тихий фрагмент проходит почти линейный участок и остаётся чистым, громкий — уходит в насыщение. Затухающая нота сначала прижата к пределу и только потом опускается в линейную область, поэтому сильный перегруз удлиняет звучание ноты (sustain) (Reiss, McPherson, с. 201–202). Компрессор (dynamic range compressor)?компрессор (dynamic range compressor) — Устройство или программа, которая ослабляет сигнал, когда его уровень выше порога, и тем сужает динамический диапазон. перед кривой выравнивает уровень, и количество гармоник меньше зависит от силы удара (Senior, §12.1, с. 194).

Гармоники выше частоты Найквиста

Сатурация в сведении

Эквалайзер (equalizer)?эквалайзер (equalizer) — Обработчик, изменяющий относительные уровни частотных областей сигнала. меняет только то, что уже есть в записи. Если у баса нет верхних гармоник, подъём на 2 кГц ничего не даст: поднимать нечего. Кривая создаёт новые составляющие, кратные нотам, поэтому партия становится плотнее и ярче, но остаётся той же партией (Senior, §12.1, с. 191–192). Слабая сатурация на отдельных дорожках и на общей шине стала обычным приёмом сведения: ей возвращают цифровой записи искажения, которые раньше добавляла аналоговая аппаратура (Izhaki, гл. 24, с. 447).

Мягкий срез обычно описывают как более гладкий и тёплый, жёсткий — как резкий и жужжащий (Reiss, McPherson, с. 187). Это оценки слушателей, а не измеряемые свойства. Проверяемая часть такова: у мягкой кривой высокие гармоники слабее (таблица 1). Вторая и четвёртая гармоники — октава и две октавы над нотой, их добавление обычно звучит естественно; третья и пятая не октавные и окрашивают звук заметнее (Izhaki, гл. 24, с. 447).

Несколько правил из практики:

• Сравнивать при одинаковой громкости. Сатурация поднимает уровень и плотность, а более громкий вариант кажется лучше. После настройки входного усиления выход убавляют, пока громкость с эффектом и без него не совпадёт, затем переключают bypass (bypass)?обход эффекта (bypass) — Режим, в котором эффект не обрабатывает звук и на выход проходит исходный сигнал. Обход выполняет DAW или сам плагин; если плагин вносит задержку, исходный сигнал задерживают на ту же величину. (статья о лимитере).
• Подмешивать параллельно. Сигнал отправляют на отдельный канал, сильно перегружают и подмешивают к исходному заметно тише: в звуковых примерах Izhaki слой перегруза на 6–26 дБ ниже исходного. Так задают отдельно плотность гармоник и их долю в звуке, а канал с эффектом можно обработать эквалайзером (Izhaki, гл. 24, с. 449–450; Senior, §12.1, с. 193–194). Кривая без памяти не задерживает сигнал, поэтому регулятор dry/wet (dry/wet, mix)?регулятор dry/wet (dry/wet, mix) — Параметр эффекта, задающий соотношение исходного и обработанного сигнала на выходе: 0 % — только dry, 100 % — только wet. Коэффициенты промежуточных положений зависят от закона смешивания. внутри плагина смешивает отсчёты без гребенчатой фильтрации (comb filtering)?гребенчатая фильтрация (comb filtering) — Ряд чередующихся подъёмов и провалов частотной характеристики, возникающий, например, при сложении сигнала с его задержанной копией.; у моделей с фильтрами и у плагинов с передискретизацией задержку и сдвиг фазы надо учитывать (статья о dry/wet).
• Держать сатурацию на шине слабой: искажения отдельных дорожек и шины складываются. Перегруз высоких частот быстро утомляет слух, поэтому результат проверяют после паузы (Senior, §12.1, с. 194).

Код на C++

Сатуратор и фильтр постоянной составляющей

Класс Saturator реализует формулу (4) с кривой $\tanh$. Параметры пользователя хранятся в структуре, производные коэффициенты пересчитываются в setParameters вне цикла отсчётов. Множитель makeup делит на наклон кривой в нуле, $G\,(1 - \tanh^2 b)$: тихий сигнал проходит с усилением 1, поэтому смешивание с исходным по mix не меняет уровень на тихих местах. DcBlocker повторяет формулу (5). Пример использует назначенные инициализаторы (C++20, designated initializers) и std::println (C++23).

// Сатуратор без памяти: входное усиление, смещение рабочей точки, кривая tanh,
// компенсация уровня и смешивание с исходным сигналом. Фильтр после него убирает
// постоянную составляющую, которую даёт асимметричная кривая.
#include <cmath>
#include <numbers>
#include <print>

struct SaturatorParameters
{
    float driveDb = 12.0f; // входное усиление
    float bias = 0.0f;     // смещение рабочей точки; 0 — симметричная кривая
    float mix = 1.0f;      // доля обработанного сигнала, 0…1
};

class Saturator
{
public:
    void setParameters (const SaturatorParameters& parameters) noexcept
    {
        drive = std::pow (10.0f, parameters.driveDb / 20.0f);
        bias = parameters.bias;
        offset = std::tanh (bias);
        // наклон кривой в нуле: drive · (1 − tanh²(bias)); тихий сигнал проходит с усилением 1
        makeup = 1.0f / (drive * (1.0f - offset * offset));
        mix = parameters.mix;
    }

    float processSample (float x) const noexcept
    {
        const auto wet = (std::tanh (drive * x + bias) - offset) * makeup;
        return mix * wet + (1.0f - mix) * x;
    }

private:
    float drive = 1.0f, bias = 0.0f, offset = 0.0f, makeup = 1.0f, mix = 1.0f;
};

// Фильтр постоянной составляющей: y[n] = x[n] − x[n−1] + R·y[n−1]
class DcBlocker
{
public:
    void prepare (double sampleRate, double cutoffHz = 20.0) noexcept
    {
        r = static_cast<float> (std::exp (-2.0 * std::numbers::pi * cutoffHz / sampleRate));
        reset();
    }

    void reset() noexcept { x1 = y1 = 0.0f; }

    float processSample (float x) noexcept
    {
        const auto y = x - x1 + r * y1;
        x1 = x;
        y1 = y;
        return y;
    }

private:
    float r = 0.995f, x1 = 0.0f, y1 = 0.0f;
};

int main()
{
    constexpr double sampleRate = 48'000.0;
    constexpr double toneHz = 220.0;

    Saturator saturator;
    saturator.setParameters ({ .driveDb = 12.0f, .bias = 0.2f });
    DcBlocker dcBlocker;
    dcBlocker.prepare (sampleRate);

    // 2 с тона −6 dBFS; среднее считаем по последней секунде, когда фильтр успокоился
    const auto length = static_cast<int> (2.0 * sampleRate);
    double sumBefore = 0.0, sumAfter = 0.0;

    for (int n = 0; n < length; ++n)
    {
        const auto x = 0.5f * static_cast<float> (std::sin (2.0 * std::numbers::pi * toneHz * n / sampleRate));
        const auto y = saturator.processSample (x);
        const auto z = dcBlocker.processSample (y);

        if (n >= length / 2)
        {
            sumBefore += y;
            sumAfter += z;
        }
    }

    const auto count = length - length / 2;
    std::println ("Среднее до фильтра: {:.4f}, после: {:.1e}", sumBefore / count, sumAfter / count);
}

Программа собрана clang++ -std=c++23 -Wall -Wextra -pedantic -Wconversion без предупреждений и печатает:

Среднее до фильтра: -0.0328, после: -5.2e-08

Среднее до фильтра совпадает с таблицей 2: постоянная составляющая −0,126 при $b = 0{,}2$, умноженная на makeup $\approx 0{,}261$. Последняя секунда содержит ровно 220 периодов тона, поэтому основная частота в среднее не попадает, и после фильтра остаётся только погрешность вычислений во float.

В плагине объект Saturator хранят по одному на процессор, а DcBlocker — по одному на канал: у фильтра есть состояние, у кривой нет. Параметры из интерфейса меняют setParameters между блоками; при резком изменении driveDb усиление меняется скачком, поэтому значение регулятора сглаживают, как время задержки в статье о линии задержки.

WaveShaper в JUCE

// Дисторшн на juce::dsp: входное усиление, асимметричная кривая tanh,
// фильтр верхних частот против постоянной составляющей и выходной уровень.
#include <juce_dsp/juce_dsp.h>

class Distortion
{
public:
    Distortion()
    {
        // смещение 0,2 делает кривую асимметричной; вычитание tanh(0,2) оставляет тишину тишиной
        chain.get<shaperIndex>().functionToUse = [] (float x)
        {
            return std::tanh (x + 0.2f) - std::tanh (0.2f);
        };
        chain.get<driveIndex>().setGainDecibels (12.0f);
        chain.get<outputIndex>().setGainDecibels (-12.0f);
    }

    void prepare (const juce::dsp::ProcessSpec& spec)
    {
        chain.get<dcFilterIndex>().state =
            juce::dsp::IIR::Coefficients<float>::makeFirstOrderHighPass (spec.sampleRate, 20.0f);
        chain.prepare (spec);
    }

    void process (juce::dsp::AudioBlock<float> block) noexcept
    {
        chain.process (juce::dsp::ProcessContextReplacing<float> (block));
    }

private:
    using DcFilter = juce::dsp::ProcessorDuplicator<juce::dsp::IIR::Filter<float>,
                                                    juce::dsp::IIR::Coefficients<float>>;
    enum { driveIndex, shaperIndex, dcFilterIndex, outputIndex };

    juce::dsp::ProcessorChain<juce::dsp::Gain<float>,
                              juce::dsp::WaveShaper<float>,
                              DcFilter,
                              juce::dsp::Gain<float>> chain;
};

Код собран с JUCE 9.0.3 в консольном приложении с флагами предупреждений JUCE и -Wconversion без предупреждений. На тоне 220 Гц с амплитудой 0,5 среднее выхода за вторую секунду около $10^{-8}$, RMS 0,199. Фильтр JUCE получен билинейным преобразованием аналогового ФВЧ первого порядка, а не по формуле (5), но на 20 Гц он делает то же самое.

Регулятор mix добавляет juce::dsp::DryWetMixer, как в статье о dry/wet. Для смены кривой во время работы нужна функция с состоянием, например WaveShaper<float, std::function<float (float)>>; присваивать её надо вне аудиопотока (audio thread)?аудиопоток (audio thread) — Поток с повышенным приоритетом, который вызывает обработку звука для каждого блока. Каждый вызов должен закончиться до срока блока, поэтому в нём не выделяют память, не берут блокировки и не обращаются к диску., потому что копирование std::function может выделить память (статья об аудиопотоке).

Самопроверка

Источники

• Zölzer U. Digital Audio Signal Processing. §10.1–10.2, с. 341–346; §10.4, с. 350–351. в списке литературы → — нелинейная система без памяти $y(n) = f(x(n))$, гармоники периодического выхода, THD и его ограничения, интермодуляция и power chords, разделение модели на линейный фильтр и кривую, симметричная кривая и нечётные гармоники, асимметрия и чётные.
• Reiss J. D., McPherson A. P. Audio Effects: Theory, Implementation and Application. Гл. 8: Distortion, с. 184–203. в списке литературы → — овердрайв, дисторшн и фузз, передаточная кривая без памяти, жёсткий и мягкий срез, входное и выходное усиление, симметрия и выпрямление, доказательство для нечётных и чётных функций, интермодуляция, таблица кривой, наложение спектров и передискретизация, фильтры до и после кривой, регулятор тембра, sustain, сравнение с компрессором.
• Zölzer U. (ред.). DAFX: Digital Audio Effects. §4.3, с. 115–132. в списке литературы → — триод и вторая гармоника, пентод и симметричное насыщение, асимметричная модель лампы с фильтрами постоянной составляющей и тембра, определения овердрайва, дисторшна и фузза, насыщение ленты.
• Pirkle W. C. Designing Audio Effect Plugins in C++: For AAX, AU, and VST3 With DSP Theory. §19.8–19.8.1, с. 547–549. в списке литературы → — сигмоидные кривые, нормировка $\tanh(kx)/\tanh k$ и $\arctan(kx)/\arctan k$, излом при разном усилении двух полуволн, выпрямитель.
• Senior M. Mixing Secrets for the Small Studio. Гл. 12, §12.1, с. 191–194. в списке литературы → — дисторшн как инструмент сведения, главная роль входного усиления, параллельная обработка, компрессор перед кривой, утомление от яркой обработки.
• Izhaki R. Mixing Audio: Concepts, Practices and Tools. Гл. 24: Distortion, с. 447–455. в списке литературы → — гармоники низкого порядка и их созвучие с нотой, THD и интермодуляция, наложение спектров в цифровом дисторшне и передискретизация, параллельный дисторшн, цифровой срез, waveshaper.
• Smith J. O. III. Introduction to Digital Filters with Audio Applications. DC Blocker, DC Blocker Frequency Response. в списке литературы → — разностное уравнение и передаточная функция блокиратора постоянной составляющей, выбор полюса $R$.
• JUCE 9.0.3. juce_WaveShaper.h и WaveShaper — поле functionToUse, тип функции по умолчанию, обработка отсчёта и блока, пустые prepare и reset.
• JUCE. Add distortion through waveshaping and convolution — цепочка Gain, WaveShaper, Gain, кривая std::tanh, фильтр верхних частот 1 кГц перед кривой.
• JUCE 9.0.3. juce_ProcessorDuplicator.h и IIR::Coefficients — общий набор коэффициентов для фильтров всех каналов, makeFirstOrderHighPass.